下面是范文網(wǎng)會(huì)員“gf2282”收集的三角函數(shù)二倍角（共7篇），供大家參考。
三角函數(shù)教案 篇1
二、復(fù)習(xí)要求
1、 三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等;
3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。
三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1、角的概念的推廣。從運(yùn)動(dòng)的角度,在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于3600的角。這樣一來(lái),在直角坐標(biāo)系中,當(dāng)角的終邊確定時(shí),其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,下同)。為了把握這些角之間的聯(lián)系,引進(jìn)終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí),通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長(zhǎng)公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。
2、利用直角坐標(biāo)系,可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn),從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。
設(shè)p(x,y)是角α終邊上任一點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),記 ,則 , , , 。
利用三角函數(shù)定義,可以得到(1)誘導(dǎo)公式:即 與α之間函數(shù)值關(guān)系(k∈z),其規(guī)律是"奇變偶不變,符號(hào)看象限";(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式:平方關(guān)系,倒數(shù)關(guān)系,商數(shù)關(guān)系。
3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導(dǎo)公式是和差公式的特例,對(duì)公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形后得 ,可以作為降冪公式使用。
三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外,還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。
4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外,還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期性的定義:設(shè)t為非零常數(shù),若對(duì)f(x)定義域中的每一個(gè)x,均有f(x t)=f(x),則稱t為f(x)的周期。當(dāng)t為f(x)周期時(shí),kt(k∈z,k≠0)也為f(x)周期。
三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法,熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。
5、本章思想方法
(1) 等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化歸為熟悉的基本問題;
(2) 數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題;
(3) 分類討論。
四、典型例題
例1、 已知函數(shù)f(x)=
(1) 求它的定義域和值域;
(2) 求它的單調(diào)區(qū)間;
(3) 判斷它的奇偶性;
(4) 判斷它的周期性。
分析:
(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數(shù)線及 ,k∈z
∴ 函數(shù)定義域?yàn)?,k∈z
∵
∴ 當(dāng)x∈ 時(shí),
∴
∴
∴ 函數(shù)值域?yàn)閇 )
(3)∵ f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱
∴ f(x)不具備奇偶性
(4)∵ f(x 2π)=f(x)
∴ 函數(shù)f(x)最小正周期為2π
注;利用單位圓中的三角函數(shù)線可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn),可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào);
以ⅱ、ⅲ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn),可區(qū)分sinx cosx的符號(hào),如圖。
例2、 化簡(jiǎn) ,α∈(π,2π)
分析:
湊根號(hào)下為完全平方式,化無(wú)理式為有理式
∵
∴ 原式=
∵ α∈(π,2π)
∴
∴
當(dāng) 時(shí),
∴ 原式=
當(dāng) 時(shí),
∴ 原式=
∴ 原式=
注:
1、本題利用了"1"的逆代技巧,即化1為 ,是欲擒故縱原則。一般地有 , , 。
2、三角函數(shù)式asinx bcosx是基本三角函數(shù)式之一,引進(jìn)輔助角,將它化為 (取 )是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟練掌握變形結(jié)論。
例3、 求 。
分析:
原式=
注:在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過程中,除利用三角變換公式,還需用到代數(shù)變形公式,如本題平方差公式。
例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求sin(β-5α)的值。
分析:
由韋達(dá)定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα sinβ= cos400
∴
∵ 00<α<β< 900
∴
∴ sin(β-5α)=sin600=
注:利用韋達(dá)定理變形尋找與sinα,sinβ相關(guān)的方程組,在求出sinα,sinβ后再利用單調(diào)性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值;
(2)已知 ,求 的值。
分析:
(1) 從變換角的差異著手。
∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α
∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0
展開得:
13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0
同除以cos(α β)cosα得:tan(α β)tanα=
(2) 以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)
∵
∴
∴ tanθ=2
∴
注;齊次式是三角函數(shù)式中的基本式,其處理方法是化切或降冪。
例6、已知函數(shù) (a∈(0,1)),求f(x)的最值,并討論周期性,奇偶性,單調(diào)性。
分析:
對(duì)三角函數(shù)式降冪
∴ f(x)=
令
則 y=au
∴ 0<a<1
∴ y=au是減函數(shù)
∴ 由 得 ,此為f(x)的減區(qū)間
由 得 ,此為f(x)增區(qū)間
∵ u(-x)=u(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)為偶函數(shù)
∵ u(x π)=f(x)
∴ f(x π)=f(x)
∴ f(x)為周期函數(shù),最小正周期為π
當(dāng)x=kπ(k∈z)時(shí),ymin=1
當(dāng)x=kπ (k∈z)時(shí),ynax=
注:研究三角函數(shù)性質(zhì),一般降冪化為y=asin(ωx φ)等一名一次一項(xiàng)的形式。
同步
(一) 選擇題
1、下列函數(shù)中,既是(0, )上的增函數(shù),又是以π為周期的偶函數(shù)是
a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=
2、 如果函數(shù)y=sin2x acos2x圖象關(guān)于直線x=- 對(duì)稱,則a值為
a、 - b、-1 c、1 d、
3、函數(shù)y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)x= 時(shí),ymax=2;當(dāng)x= 時(shí),ymin=-2,則此函數(shù)解析式為
a、 b、
c、 d、
4、已知 =1998,則 的值為
a、1997 b、1998 c、1999 d、
5、已知tanα,tanβ是方程 兩根,且α,β ,則α β等于
a、 b、 或 c、 或 d、
6、若 ,則sinx·siny的最小值為
a、-1 b、- c、 d、
7、函數(shù)f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是
a、 b、 c、7 d、8
8、若θ∈(0,2π],則使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是
a、( ) b、( ) c、( ) d、( )
9、下列命題正確的是
a、 若α,β是第一象限角,α>β,則sinα>sinβ
b、 函數(shù)y=sinx·cotx的單調(diào)區(qū)間是 ,k∈z
c、 函數(shù) 的最小正周期是2π
d、 函數(shù)y=sinxcos2φ-cosxsin2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則 ,k∈z
10、 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是
a、 b、
b、 d、 k∈z
(二) 填空題
11、 函數(shù)f(x)=sin(x θ) cos(x-θ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則θ=。
12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c為常數(shù)),那么tanβ=。
13、 函數(shù)y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為。
14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,則x y的最大值為。
15、 函數(shù)f(x)=sin3x圖象的對(duì)稱中心是。
(三) 解答題
16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
17、 是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x acosx 在閉區(qū)間[0, ]上的最大值是1?若存在,求出對(duì)應(yīng)的a值。
18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (x∈r)
(1) 求f(x)的最小正周期;
(2) 求f(x)單調(diào)區(qū)間;
(3) 求f(x)圖象的對(duì)稱軸,對(duì)稱中心。
參考答案
(一) 選擇題
1、b 2、b 3、b 4、b 5、a 6、c 7、c 8、c 9、d 10、b
(二) 填空題
11、 ,k∈z 12、 13、-4 14、 15、( ,0)
(三) 解答題
16、
17、
18、(1)t=π
(2)增區(qū)間[kπ- ,kπ π],減區(qū)間[kπ
(3)對(duì)稱中心( ,0),對(duì)稱軸 ,k∈
高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)公式 篇2
sinα=∠α的對(duì)邊/斜邊
cosα=∠α的鄰邊/斜邊
tanα=∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊
cotα=∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊
倍角公式
sin2A=2SinA?CosA
cos2A=CosA?-SinA?=1-2SinA?=2CosA?-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA?)
(注：SinA?是sinA的平方sin2(A))
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
三倍角公式推導(dǎo)
sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina
三角函數(shù)輔助角公式
Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A?+B?)’(1/2)
cost=A/(A?+B?)’(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
降冪公式
sin?(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos?(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan?(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角函數(shù)推導(dǎo)公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos?α
1-cos2α=2sin?α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)?=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3sina-4sin?a
cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa=4cos?a-3cosa
sin3a=3sina-4sin?a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(√3/2)?-sin?a]=4sina(sin?60°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos?a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(√3/2)?]=4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角函數(shù)半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin?(a/2)=(1-cos(a))/2
cos?(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
三角函數(shù)三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
三角函數(shù)兩角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
三角函數(shù)和差化積
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
三角函數(shù)積化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(—a)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限
萬(wàn)能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]
cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]
其它公式
(1)(sinα)?+(cosα)?=1
(2)1+(tanα)?=(secα)?
(3)1+(cotα)?=(cscα)?
證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)?,第二個(gè)除(cosα)?即可
(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)?+(cosB)?+(cosC)?=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)?+(sinB)?+(sinC)?=2+2cosAcosBcosC
(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及
sin?(α)+sin?(α-2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
任意角三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì) 篇3
“任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認(rèn)識(shí)與設(shè)計(jì)
浙江金華第一中學(xué) 孔小明
本文首先對(duì)三角函數(shù)定義的教學(xué)進(jìn)行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問題設(shè)計(jì).1．整體把握，使教學(xué)線索清晰，層次分明
三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)將角的概念推廣到任意角，并使角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知的起點(diǎn)，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn).由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時(shí)，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個(gè)側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個(gè)側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)（比值）表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng),而三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到實(shí)數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）的對(duì)應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高.促進(jìn)學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過程,增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn),在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長(zhǎng)的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識(shí)可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，因此可用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計(jì)改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學(xué)的“來(lái)龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學(xué)生步步加深對(duì)三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)無(wú)須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),進(jìn)行教學(xué)法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡(jiǎn)約而高效
由于教科書自身特點(diǎn)的限制,教科書還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計(jì),根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個(gè)再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)支持減弱，新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價(jià)值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實(shí)也是沒必要的.事實(shí)上，學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對(duì)教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時(shí)間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達(dá)到平衡，讓教學(xué)效益達(dá)到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語(yǔ),完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗(yàn)，但教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來(lái)定義任意角三角函數(shù).筆者認(rèn)為，從幫助學(xué)生理解定義的實(shí)質(zhì)，體會(huì)坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言,引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設(shè)計(jì)具有啟示性：
現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了,由銳角擴(kuò)展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α，sinα怎樣定義好呢？
上述問題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù).在第三個(gè)環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點(diǎn)”要在引入單位圓后才能逐步體會(huì)到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：
大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？
在學(xué)生得出時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對(duì)學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計(jì)問題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái) 基于上述認(rèn)識(shí)，對(duì)定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問題設(shè)計(jì).先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運(yùn)動(dòng)，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個(gè)問題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡(jiǎn)化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來(lái)定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角α的三角函數(shù)嗎？
意圖：引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問題5：各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？
意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強(qiáng)函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，得出結(jié)論：三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點(diǎn)，那有沒有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說(shuō)明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性，先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)
陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，）
一．內(nèi)容和內(nèi)容解析
三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．
角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°~360°內(nèi)的角，再擴(kuò)充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果．
比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便．
從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過程，產(chǎn)生了“符號(hào)問題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．
任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)．因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．
任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對(duì)應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集），這是因?yàn)?，在建立弧度制以后，角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)，“角是實(shí)數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．
任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點(diǎn)．無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．
在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析
本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，這個(gè)比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．
理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個(gè)線段長(zhǎng)度的比值擴(kuò)展為點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的．
要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來(lái)，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個(gè)包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個(gè)定義是自然的．
三．教學(xué)問題診斷分析
從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個(gè)從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．
學(xué)生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對(duì)研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識(shí)上會(huì)有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究三角函數(shù)可能會(huì)有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對(duì)銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．
教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集）．因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)，把銳角說(shuō)成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析
利用幾何畫板軟件，可以動(dòng)態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)大小的特點(diǎn)，便于學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的位置的改變，所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點(diǎn)，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況，加深對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個(gè)難點(diǎn)． 五．教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1．理解銳角三角函數(shù)
要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．
問題1 任意畫一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．
教師用幾何畫板任意畫一個(gè)銳角．要求學(xué)生自己任意也畫一個(gè)銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對(duì)邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)，計(jì)算比值．
意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：
（1）與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)；（2）是直角三角形中線段長(zhǎng)度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？
意圖：學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際畫圖操作，以及計(jì)算比值的體驗(yàn)，會(huì)很快認(rèn)為把斜邊畫成單位長(zhǎng)比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．
問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？
意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較．
銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實(shí)數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)，所以，α是（0，）上的實(shí)數(shù)．而與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長(zhǎng)度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)．
問題4 你產(chǎn)生過這個(gè)疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”
意圖：這個(gè)問題具有元認(rèn)知提示的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．
三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個(gè)比．還有哪三個(gè)呢？再把已知的三個(gè)倒過來(lái)． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”
教師利用幾何畫板，把角α的頂點(diǎn)定義為原點(diǎn)，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊，表現(xiàn)任意角．
問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對(duì)于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來(lái)定義好呢？
意圖：可以打破知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性——角的范圍擴(kuò)大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，并不顯得突然．把定義的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程，發(fā)展思維．
有兩種可能的回答．
可能一：在α的終邊上任意畫一點(diǎn)P（x，y），|OP|＝r．
可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y）．
不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”
引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點(diǎn)．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）
因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（對(duì)定義的體驗(yàn)）
問題6（1）求下列三角函數(shù)值：
問題6（2）說(shuō)出幾個(gè)使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．
逐題給出，對(duì)于每一個(gè)答案，都要求學(xué)生說(shuō)出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（對(duì)正切函數(shù)）”的步驟．
問題6（3）指出下列函數(shù)值：
意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）
①確定下列三角函數(shù)的符號(hào)：
②θ在哪個(gè)象限？請(qǐng)說(shuō)明理由．反過來(lái)呢？
③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識(shí)三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)．
問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會(huì)？ 意圖：體驗(yàn)以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)，等．
教師板書學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域
問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？
意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．
建立了角的弧度制，角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是
仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)
（1）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，并借助計(jì)算器計(jì)算：
（2）求下列三角函數(shù)值：
6．小結(jié)
問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？
意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長(zhǎng)的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．
若時(shí)間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號(hào)；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
（1），寫出α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并寫出tanα的值．
（2）求下列三角函數(shù)的值：
（3）角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是1/2，說(shuō)出幾個(gè)滿足條件的角α．
（4）點(diǎn)P（3，－4）在角α終邊上，說(shuō)出sinα，cosα，tanα分別是多少？
（1）實(shí)際教學(xué)片段
上課始，教師用幾何畫板任意畫一個(gè)銳角，提出問題1：“任意畫一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進(jìn)學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請(qǐng)舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學(xué)生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個(gè)直角三角形，并不熟練地寫出一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊比斜邊以及余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長(zhǎng)畫成單位長(zhǎng)比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學(xué)生說(shuō)出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產(chǎn)生過這個(gè)疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”有學(xué)生舉手，表示想過這個(gè)問題，應(yīng)該是六個(gè)，另外三個(gè)可以把現(xiàn)有的三個(gè)倒一下得到．至此，時(shí)間已經(jīng)過去20多分鐘．
教師本以為，學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，對(duì)給出的一個(gè)銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點(diǎn)上，學(xué)生耗費(fèi)了大量的時(shí)間，而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生，這就嚴(yán)重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗(yàn)、把握內(nèi)涵的時(shí)間保證，造成體驗(yàn)不夠，概括
過早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．
（2）問題出在哪里
問題在教學(xué)設(shè)計(jì)不夠合理，當(dāng)中的“教學(xué)問題診斷分析”不夠準(zhǔn)確．沒有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)識(shí)能力，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計(jì)不足．尤其是，對(duì)學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計(jì)過高．主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進(jìn)行的，并不要求給出一個(gè)銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)，比如關(guān)注它的自變量是角，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對(duì)應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運(yùn)用符號(hào)sinA，cosA，tanA的意義來(lái)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，等．現(xiàn)在，要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．
關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角．”以及“運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)
單實(shí)際問題．”
筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：
如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對(duì)cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函
數(shù)．”
以后的內(nèi)容（包括解實(shí)際問題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計(jì)算，并不強(qiáng)調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習(xí)，作用并不大．應(yīng)該說(shuō)，這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求．可見學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函
數(shù)”這個(gè)系統(tǒng)．
初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個(gè)特定的載體，這就是直角三角形，因此，當(dāng)他們面對(duì)任意畫出的一個(gè)銳角，其兩條邊是射線，要求出這個(gè)角的三角函數(shù)的近似值這個(gè)新情境時(shí)，竟不知如何是好，手足無(wú)措，無(wú)計(jì)可施，也說(shuō)明學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來(lái)，畫出一個(gè)銳角，要求學(xué)生會(huì)取點(diǎn)、畫垂線、度量、計(jì)算比值的要求是必要的．
有教師認(rèn)為，不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣來(lái)定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學(xué)生更難回答．原因是對(duì)銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認(rèn)識(shí)不足、理解不到位，要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念，因?yàn)閺匿J角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學(xué)習(xí)．教材要求首先把直角三角形中邊長(zhǎng)的比值擴(kuò)展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值，在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)它，也就是弄清自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．
（3）對(duì)教學(xué)的反思
高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，了解初中教材，了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識(shí)的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個(gè)明顯的例子．
教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎”其實(shí)，學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復(fù)習(xí)，來(lái)幫助學(xué)生
補(bǔ)上這一點(diǎn)．
2．其他反思
（1）由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時(shí)間，影響了新課的學(xué)習(xí)，用任意角三角函數(shù)概念解題的時(shí)間不多，體驗(yàn)不夠，有教師提出“下課后練習(xí)不好做”，說(shuō)明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認(rèn)為，當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時(shí)，教師寧可選擇“生成”．尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，尊重學(xué)生的認(rèn)知心理過程，決不簡(jiǎn)單化，把結(jié)論直接告訴給學(xué)生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學(xué)任務(wù)．教師不能認(rèn)為我已經(jīng)把這個(gè)概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”，概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”，對(duì)概念需要的是理解，需要學(xué)生用自己的體驗(yàn)建立起對(duì)概念的理解．什么是“教學(xué)任務(wù)”，不能僅限于知識(shí)要求，要注意學(xué)生的全面發(fā)展．比如，當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點(diǎn)，畫垂線時(shí)，啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當(dāng)學(xué)生不能說(shuō)出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時(shí)，教師降低難度，啟發(fā)類比S＝a2中a表示邊長(zhǎng)，而S表示正方形的面積．突出線段長(zhǎng)、面積，等等．
“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個(gè)概念．對(duì)“任意角三角函數(shù)的概念”的認(rèn)識(shí)、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個(gè)長(zhǎng)期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說(shuō)成實(shí)數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強(qiáng)度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強(qiáng)度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型；再比如，當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來(lái)看三角函數(shù)的定義域，會(huì)認(rèn)識(shí)到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實(shí)數(shù)更具廣泛性．
這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個(gè)知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負(fù)數(shù)”的學(xué)生，就已經(jīng)開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學(xué)生了．
還需要注意的是，應(yīng)該通過什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會(huì)建立這個(gè)概念過程
中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法．
（2）在求cosπ時(shí)，一個(gè)學(xué)生說(shuō)出的結(jié)果是．教師追問“你是怎么算出來(lái)的？”他回答：“用計(jì)算器．”后來(lái)，筆者用計(jì)算器做了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)他用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，把計(jì)算器中的角度模式（Mode）設(shè)置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計(jì)算cosπ可以得到（即計(jì)算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（Radian），計(jì)算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學(xué)沒有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過的概念，運(yùn)用新概念解決當(dāng)前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計(jì)算器算出來(lái)的”這個(gè)認(rèn)識(shí)水平上；第二，反映了計(jì)算器的過度使用，會(huì)形成對(duì)學(xué)具的依賴，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展．學(xué)具的功能越全面越強(qiáng)大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計(jì)算器在初中使用可能會(huì)削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí)；具有圖象功能的計(jì)算器的過早使用可能會(huì)干擾函數(shù)的學(xué)習(xí)．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來(lái)源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計(jì)算結(jié)果．
借班上課，對(duì)學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學(xué)進(jìn)度等問題，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足（在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學(xué)并不理想的一個(gè)重要原因．教學(xué)過程是師生雙邊活動(dòng)的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認(rèn)可也有一個(gè)過程，比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．
（3）討論中，老師們提出了許多有價(jià)值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進(jìn)的教學(xué)理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進(jìn)教學(xué)理念，去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實(shí)，也是不應(yīng)該的．
課堂教學(xué)是一項(xiàng)實(shí)踐性很強(qiáng)的工作，除了認(rèn)真的課前準(zhǔn)備外，對(duì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機(jī)應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程，隨時(shí)修改自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，改變策略，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽?shí)施教學(xué)，以達(dá)到最佳教學(xué)效果．這一切都需要教師有很強(qiáng)的基本功．
三角函數(shù)教學(xué)課件 篇4
銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)課教學(xué)反思
今天按照學(xué)校常規(guī)課堂教學(xué)要求，運(yùn)用楚都中學(xué)“245”教學(xué)模式在九（3）班進(jìn)行了一節(jié)銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)課教學(xué)，下面，就我本節(jié)課的教學(xué)體會(huì)作如下總結(jié)：
本節(jié)課分為四個(gè)環(huán)節(jié)：第一個(gè)環(huán)節(jié)是目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，分為三步。首先讓學(xué)生齊讀教學(xué)目標(biāo)（鞏固銳角三角函數(shù)的概念；熟記300、450、600角的三角函數(shù)值；掌握銳角三角函數(shù)與直線型、相似、圓等數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用），然后口答銳角三角函數(shù)的概念以及用表格呈現(xiàn)的特殊角的三角函數(shù)值，最后獨(dú)立完成練習(xí)（第一道題考查概念，第二道題考查特殊角的三角函數(shù)值）。其中第二題一學(xué)生演板。迅速完成了教學(xué)目標(biāo)的1、2兩個(gè)內(nèi)容
第二個(gè)環(huán)節(jié)是合作探究，分為兩步。首先學(xué)生獨(dú)立完成（8分鐘），然后站立交流5分鐘，學(xué)生之間互幫互學(xué)。同時(shí)三名學(xué)生演板。
第三個(gè)環(huán)節(jié)是展示點(diǎn)撥。對(duì)演板的三位學(xué)生的解答進(jìn)行評(píng)講，更注重點(diǎn)撥。歸納了銳角三角函數(shù)常用的方法以及在幾何題中學(xué)生解題的基本思路。
第四個(gè)環(huán)節(jié)是檢測(cè)反饋。學(xué)生獨(dú)立完成后在由學(xué)生講解解題思路和方法。反思本節(jié)課的成功之處，我覺得有如下幾個(gè)方面：
1、按照學(xué)校常規(guī)教學(xué)的要求，體現(xiàn)了“245”教學(xué)模式
2、板書設(shè)計(jì)美觀，本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及學(xué)生的演板設(shè)計(jì)合理，幾何圖形美觀
3、注重學(xué)生解題方法和知識(shí)之間聯(lián)系的點(diǎn)撥
本節(jié)課也留下了我深深的思考：對(duì)學(xué)生知識(shí)水平估計(jì)偏高。如檢測(cè)反饋的最后一道題是已講過的題目，以為學(xué)生能夠迅速準(zhǔn)確的解答，但由于題目本身較難，只有很少的學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)解出來(lái)了。內(nèi)容容量較大，自己感覺語(yǔ)速較快，有點(diǎn)趕時(shí)間。另外，沒能面向全體，部分學(xué)生對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的記憶還不夠熟練。
我深信：每朵花都有花期，今日含淚的孕育只為明日吐露的燦爛芬芳！
2014-4-14
銳角三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì) 篇5
《銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)課》的教學(xué)設(shè)計(jì)
雞東鎮(zhèn)中學(xué)楊曉紅
《銳角三角函數(shù)》是初四下冊(cè)第二十八章內(nèi)容，本章包括銳角三角函數(shù)的概念，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容。銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì)。本章在中考中所占的比重雖不大，但屬于比較好得分的部分。所以復(fù)習(xí)好本章的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也很重要。我從六個(gè)方面說(shuō)明我的教學(xué)
一、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明；
二、教學(xué)分析；
三、教學(xué)目標(biāo)；
四、教學(xué)策略；
五、教學(xué)過程：
六、教學(xué)反思。
一、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
我校有適合本校學(xué)生發(fā)展的教學(xué)模式----學(xué)論評(píng)測(cè)模式，所以我在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)使用了這種模式，主要分為四個(gè)環(huán)節(jié)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、展示點(diǎn)評(píng)、反饋檢測(cè)。與本節(jié)課有關(guān)的舊知識(shí)需要復(fù)習(xí)的我又增加了一個(gè)環(huán)節(jié)是知識(shí)回顧。自主學(xué)習(xí)是讓學(xué)生先自己閱讀教材，將本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)做個(gè)了解，簡(jiǎn)單的、基礎(chǔ)的知識(shí)都放在這一環(huán)節(jié)，重在培養(yǎng)學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)的能力，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀的能力；合作討論是將本節(jié)課中難度比較大的問題通過小組討論的形式來(lái)完成，小組內(nèi)的成員通過合作、交流、探討來(lái)解決問題。體現(xiàn)團(tuán)隊(duì)精神；展示交流環(huán)節(jié)是給學(xué)生機(jī)會(huì)來(lái)展示自我，以小組
為單位，全員參加，合理分配任務(wù)完成展示。重在培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；最后檢測(cè)學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況。各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)重在以學(xué)生為主體，突出學(xué)生的主體作用，另外培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣和能力，讓學(xué)生在一種輕松愉快的學(xué)習(xí)氛圍中學(xué)習(xí)知識(shí)。
二、教學(xué)分析
（一）教學(xué)內(nèi)容分析
本章要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有4個(gè)。
1、銳角三角函數(shù)的概念。
2、特殊銳角三角函數(shù)值。
3、解直角三角形。4銳角三角函數(shù)的應(yīng)用
（二）學(xué)情分析
1、我所教的一所農(nóng)村學(xué)校，學(xué)生基礎(chǔ)不是很好。所在我在每次課的設(shè)計(jì)都以基礎(chǔ)為主，注重知識(shí)的來(lái)源和過程。
2、學(xué)生書寫過程有的寫的不細(xì)致，邏輯性不強(qiáng)。
3、使用這種教學(xué)模式要求精講，所以學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練時(shí)題目都是精選，但題量不大，學(xué)生計(jì)算的速度有限。
三、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能：
（1）.鞏固三角函數(shù)的概念,鞏固用直角三角形邊之比來(lái)表示某個(gè)銳角的三角函數(shù).（2）.熟記30°，45°, 60°角的三角函數(shù)值.會(huì)計(jì)算含有特殊角的三角函數(shù)的值，會(huì)由一個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值，求出它的對(duì)應(yīng)的角度.（3）.掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理，直
角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.（4）.會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2、過程與方法：通過自學(xué)，觀察、討論、類比、歸納等方法學(xué)習(xí)知識(shí)，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：
在解決問題的過程中引發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)需求，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)需求的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的全過程，并讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)是需要付出努力和勞動(dòng)的。
教學(xué)重點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的概念及特殊三角函數(shù) 教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。
四、教學(xué)策略
（一）、教學(xué)方法
本節(jié)課我使用了自學(xué)+研討+展示的教學(xué)方法。課堂教學(xué)方法非常靈活，最重要的是體現(xiàn)出學(xué)生的主體地位，把課堂還給學(xué)生，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，加大學(xué)生的思考量。給學(xué)習(xí)一個(gè)展示的平臺(tái)，讓學(xué)習(xí)通過自主學(xué)習(xí)、合作討論、展示交流來(lái)發(fā)現(xiàn)問題、討論問題、解決問題。發(fā)揮學(xué)習(xí)的團(tuán)隊(duì)精神。營(yíng)造良好寬松的學(xué)習(xí)氛圍。
（二）教學(xué)手段
本節(jié)課學(xué)生在多煤體教室上課，使用白板進(jìn)行教學(xué)，學(xué)
生可以利用白板展示自己的答案，簡(jiǎn)單方便。省時(shí)得力。效果好。學(xué)生興趣濃厚。
五、教學(xué)過程
1、自主學(xué)習(xí)
本環(huán)節(jié)主要是解決學(xué)習(xí)目標(biāo)中的前三個(gè)目標(biāo)的，設(shè)計(jì)8個(gè)問題，其中前三個(gè)是概念，后5個(gè)是在理解概念的基礎(chǔ)上解決問題，問題設(shè)計(jì)的都比較基礎(chǔ)，為了是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。
2、合作學(xué)習(xí)
本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了4個(gè)問題。主要是解決實(shí)際問題，也就是直角三角形的應(yīng)用。設(shè)計(jì)的內(nèi)容比較廣泛，為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。學(xué)生通過討論合作完成后歸納實(shí)際應(yīng)用的幾種圖形。
4、展示點(diǎn)評(píng)
學(xué)生一共分為四組。小組都完成后，抽簽決定展示題目。根據(jù)學(xué)生展示情況加分，小組長(zhǎng)和老師對(duì)各組的展示進(jìn)行評(píng)價(jià)。表?yè)P(yáng)優(yōu)秀小組。
5、反饋檢測(cè)
本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了5道題，有填空和選擇，重基礎(chǔ)和易錯(cuò)題目的考查。學(xué)生檢測(cè)后當(dāng)堂對(duì)答案，記分，公布小組得分。
六教學(xué)反思
在本節(jié)課教學(xué)中我能夠注重培養(yǎng)學(xué)生的興趣和能力，能夠以學(xué)生為主體，給學(xué)生多的空間和時(shí)間來(lái)討論問題和展示問題，對(duì)學(xué)生回答的問題能夠及時(shí)的肯定和糾正。學(xué)生能解決的問題能做到不講，讓學(xué)生真正通過自己的能力來(lái)學(xué)習(xí)問
題，不太理解的問題通過小組合作來(lái)解決，體會(huì)在解決問題的過程中與他人合作的重要性。我回憶在課堂教學(xué)過程中還有以下不足之處：在時(shí)間的分配上還不是最合理的，各環(huán)節(jié)展示的時(shí)間太緊。不是很從容。對(duì)于學(xué)生的評(píng)價(jià)也不是很到位，對(duì)于學(xué)生激勵(lì)性的語(yǔ)言使用的不夠，小組長(zhǎng)的組織能力和帶頭作用還最大發(fā)揮。
改進(jìn)方法
作為教師，要想真正上好以探究活動(dòng)為主的課堂教學(xué)，必須掌握多種教學(xué)思想方法和教學(xué)技能，不斷更新與改變教學(xué)觀念和教學(xué)態(tài)度，在課堂教學(xué)中始終牢記：學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生才是課堂的主體；教師只是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，在課堂上只是一個(gè)配角。另外對(duì)小組長(zhǎng)要多加培訓(xùn)。當(dāng)一個(gè)小老師使用。能夠帶領(lǐng)全組學(xué)生都動(dòng)起來(lái)，不讓一個(gè)學(xué)生掉隊(duì)。
三角函數(shù)教案模板 篇6
三角函數(shù)線及其應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生理解并掌握三角函數(shù)線的作法，能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)單問題． 2．培養(yǎng)學(xué)生分析、探索、歸納和類比的能力，以及形象思維能力． 3．強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
三角函數(shù)線的作法與應(yīng)用． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、復(fù)習(xí)
師：我們學(xué)過任意角的三角函數(shù)，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定義的？
生：在α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），P和原點(diǎn)O的距離是r（r＞0），那么角α的六個(gè)三角函數(shù)分別是（教師板書）
師：如果α是象限角，能不能根據(jù)定義說(shuō)出α的各個(gè)三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律？
生：由定義可知，sinα和cscα的符號(hào)由y決定，所以當(dāng)α是第一、二象限角時(shí)，sinα＞0，cscα＞0；當(dāng)α是第三、四象限角時(shí)，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符號(hào)由x決定，所以當(dāng)α是第一、四象限角時(shí)，cosα＞0，secα＞0；當(dāng)α是第二、三象限角時(shí)，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符號(hào)由x，y共同決定，當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，tanα，cotα為正；當(dāng)x，y異號(hào)時(shí)，tanα，cotα為負(fù)．也就是說(shuō)當(dāng)α是第一、三象限角時(shí)，tanα＞0，cotα＞0；當(dāng)α是第二、四象限角時(shí)，tanα＜0，cotα＜0．
師：可以看到，正弦值的正負(fù)取決于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y，余弦值的正負(fù)取決于P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，而正切值的正負(fù)取決于x和y是否同號(hào)，那么正弦、余弦、正切的值的大小與P點(diǎn)的位置是否有關(guān)？
生：三角函數(shù)值的大小與P的位置無(wú)關(guān)，只與角α的終邊的位置有關(guān)． 師：既然三角函數(shù)值與P點(diǎn)在角α的終邊上的位置無(wú)關(guān)，我們就設(shè)法讓P點(diǎn)點(diǎn)位于一個(gè)特殊位置，使得三角函數(shù)值的表示變?yōu)楹?jiǎn)單．
二、新課
師：P點(diǎn)位于什么位置，角α的正弦值表示最簡(jiǎn)單？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 師：那么對(duì)于余弦又該怎么處理呢？ 生：還是取r=1．
師：如果r=1，那么P點(diǎn)在什么位置？
生：P點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上．
師：這個(gè)圓我們會(huì)經(jīng)常用到，給它起個(gè)名字，叫單位圓，單位圓是以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓．（板書）1．單位圓
師：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．
師：我們前面說(shuō)的都是三角函數(shù)的代數(shù)定義，能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來(lái)表示呢？因?yàn)閿?shù)形結(jié)合會(huì)給我們的研究帶來(lái)極大的方便，請(qǐng)同學(xué)們想想，哪些圖形與這些數(shù)值有關(guān)呢？
（同學(xué)可能答不上來(lái)，教師給出更明確的提示．）
師：sinα=y，cosα=x，而x，y是點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義再想一想．
師：對(duì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，是它的位置代表了數(shù)，點(diǎn)本身并不代表數(shù)．能不能找到一個(gè)圖形，自身的度量就代表數(shù)？
生：可以用面積，比如一個(gè)正數(shù)可以對(duì)應(yīng)著一個(gè)多邊形的面積，每一個(gè)多邊形的面積對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)正數(shù)． 師：很好．但這是一個(gè)二維的圖形，而且多邊形的邊數(shù)也不確定，我們還應(yīng)遵循求簡(jiǎn)的原則．有沒有簡(jiǎn)單的圖形呢？
生：是不是能用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示？ 師：說(shuō)說(shuō)你的理由．
生：線段的長(zhǎng)度與正數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以每一個(gè)正數(shù)可以用一條線段來(lái)作幾何形式． 師：正數(shù)可以這樣去做，零怎么辦呢？能用線段來(lái)表示嗎？ 生：（非常活躍）當(dāng)然行了，讓線段兩個(gè)端點(diǎn)重合，線段長(zhǎng)就是零了．
師：可以畫這樣一個(gè)示意圖，線段一個(gè)端點(diǎn)是A，另一個(gè)端點(diǎn)是B，當(dāng)A，B重合時(shí)，我們說(shuō)AB是0；當(dāng)A，B不重合時(shí)，我們說(shuō)AB是一個(gè)正實(shí)數(shù)．那么負(fù)數(shù)怎么辦呢？能不能想辦法也用線段AB表示？
生：線段的長(zhǎng)度沒有負(fù)數(shù)．
生：我能不能這樣看，A點(diǎn)在直線l上，B點(diǎn)在l上運(yùn)動(dòng)，如果B在A的右側(cè)，我就說(shuō)線段AB代表正數(shù)；如果B和A重合，就說(shuō)線段AB代表0；如果B在A的左側(cè)，就說(shuō)線段AB代表負(fù)數(shù)．
（教師不必理會(huì)學(xué)生用詞及表述的漏洞．主要是把學(xué)生的注意力吸引到對(duì)知識(shí)、概念的發(fā)現(xiàn)上來(lái)．）
師：正數(shù)與正數(shù)不都相等，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)也不都相等，你只是規(guī)定了正負(fù)還不夠吧？！
生：可以再加上線段AB的長(zhǎng)度．這樣所有的實(shí)數(shù)都能對(duì)應(yīng)一條線段AB，以A為分界點(diǎn)，正數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B在A的右側(cè)，而且加上長(zhǎng)度，B點(diǎn)就唯一了．
師：他的意見是對(duì)線段也給了方向．與直線規(guī)定方向是類似的．那么如何建立有向線段與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系？（板書）2．有向線段
師：顧名思義，有方向的線段（即規(guī)定了起點(diǎn)與終點(diǎn)的線段）叫做有向線段，那么如何建立有向線段與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？這需要借助坐標(biāo)軸．平行于坐標(biāo)軸的線段可以規(guī)定兩種方向．如圖2，線段AB可以規(guī)定從點(diǎn)A（起點(diǎn)）到點(diǎn)B（終點(diǎn)）的方向，或從點(diǎn)B（起點(diǎn)）到點(diǎn)A（終點(diǎn)）的方向，當(dāng)線段的方向與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，就規(guī)定這條線段是正的；當(dāng)線段的方向與坐標(biāo)軸的正方向相反時(shí)，就規(guī)定這條線段是負(fù)的．如圖中AB=3（長(zhǎng)度單位）（A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)），BA=-3（長(zhǎng)度單位）（B為起點(diǎn)，A為終點(diǎn)），類似地有CD=-4（長(zhǎng)度單位），DC=4（長(zhǎng)度單位）．
師：現(xiàn)在我們回到剛才的問題，角α與單位圓的交點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)恰是α的正弦值，但sinα是可正、可負(fù)、可為零的實(shí)數(shù)，能不能找一條有向線段表示sinα？
生：找一條有向線段跟y一致就行了，y是正的，線段方向向上，y是負(fù)的，線段方向向下，然后讓線段的長(zhǎng)度為｜y｜． 師：理論上很對(duì)，到底選擇哪條線段呢？我們不妨分象限來(lái)看看．
生：如果α是第一象限的角，過P點(diǎn)向x軸引垂線，垂足叫M（無(wú)論學(xué)生用什么字母，教師都要將其改為M），有向線段MP為正，y也是正的，而且MP的長(zhǎng)度等于y，所以用有向線段MP表示sinα=y．
（圖中的線段隨教學(xué)過程逐漸添加．）
生：如果α是第二象限角，sinα=y是正數(shù)，也得找一條正的線段．因?yàn)棣恋慕K邊在x軸上方，與第一象限一樣，作PM垂直x軸于M，MP=sinα．
師：第一、二象限角的正弦值幾何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此時(shí)sinα是負(fù)值．
生：這時(shí)角α的終邊在x軸下方，P到x軸的距離是｜y｜=-y．所以還是作PM垂直x軸于M，MP方向向下，長(zhǎng)度等于-y，所以sinα=y．
師：歸納起來(lái)，無(wú)論α是第幾象限角，過α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號(hào)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的符號(hào)一致，長(zhǎng)度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我們把有向線段MP叫做角α的正弦線，正弦線是角α的正弦值的幾何形式．（板書）
3．三角函數(shù)線
（1）正弦線——MP 師：剛才討論的是四個(gè)象限的象限角的正弦線，軸上角有正弦線嗎？
生：當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，P與M重合，正弦線退縮成一點(diǎn)，該角正弦值為0；當(dāng)角α終邊與y軸正半軸重合時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值為1；當(dāng)α終邊與y軸負(fù)半軸重合時(shí)，MP=-1，sinα=-1，與象限角情況完全一致． 師：現(xiàn)在來(lái)找余弦線．
生：因?yàn)閏osα=x（x是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)），所以把x表現(xiàn)出來(lái)就行了．過P點(diǎn)向y軸引垂線，垂足為N，那么有向線段NP=cosα，NP是余弦線． 師：具體地分析一下，為什么NP=cosα？
生：當(dāng)α是第一、四象限角時(shí)，cosα＞0，NP的方向與x軸正方向一致，也是正的，長(zhǎng)度為x，有cosα=NP；當(dāng)α是第二、三象限角時(shí)，cosα＜0，NP也是負(fù)的，也有cosα=NP． 師：這位同學(xué)用的是類比的思想，由正弦線的作法類比得出了余弦線的作法，其他同學(xué)有沒有別的想法？
生：其實(shí)有向線段OM和他作的有向線段NP方向一樣，而且長(zhǎng)度也一樣，也可以當(dāng)作余弦線．
師：從作法的簡(jiǎn)潔及圖形的簡(jiǎn)潔這個(gè)角度看，大家愿意選哪條有向線段作為余弦線？ 生：OM．（板書）
（2）余弦線——OM 師：對(duì)軸上角這個(gè)結(jié)論還成立嗎？（學(xué)生經(jīng)過思考，答案肯定．）
師：我們已經(jīng)得到了角α的正弦線、余弦線，它們都是與單位圓的弦有關(guān)的線段，能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢？
生：肯定和圓的切線有關(guān)系（這里有極大的猜的成分，但也應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生．）
坐標(biāo)等于1的點(diǎn)，這點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是α的正切值． 師：那么橫坐標(biāo)得1的點(diǎn)在什么位置呢？ 生：在過點(diǎn)（1，0），且與x軸垂直的直線上． 生：這條直線正好是圓的切線．（在圖3-（1）中作出這條切線，令點(diǎn)（1，0）為A．）師：那么哪條有向線段叫正切線呢？不妨先找某一個(gè)象限角的正切線．
生：設(shè)α是第一象限角，α的終邊與過A的圓的切線交于點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)設(shè)為y′，有向線段AT=y′，AT可以叫做正切線．
師：大家看可以這樣做吧？！但第二象限角的終邊與這條切線沒有交點(diǎn)，也就是α的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)．
生：可以令x=-1，也就是可以過（-1，0）再找一條切線，在這條切線上找一條有向線段表示tanα．
師：我相信這條線段肯定可以找到，那么其他兩個(gè)象限呢？
生：第三象限角的正切線在過（-1，0）的切線上找，第四象限角的正切線在過（1，0）的切線上找．
師：這樣做完全可以，大家可以課下去試，但我們還是要求簡(jiǎn)單，最好只要一條切線，我們當(dāng)然喜歡過A點(diǎn)的切線（因?yàn)檫@條直線上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是1），第一、四象限角與這條直線能相交，AT是正切值的反映，關(guān)鍵是第二、三象限的角． （如果學(xué)生答不出來(lái)，由教師講授即可．）師（或生）：象限角α的終邊如果和過A點(diǎn)的切線不相交，那么它的反向延長(zhǎng)線一定能和這條切線相交．因?yàn)椤鱋MP∽△OAT，OM與MP同號(hào)時(shí)，OA與AT也同號(hào)；OM與MP異號(hào)時(shí)，OA與AT也異號(hào)，（板書）
（3）正切線——AT 師：的確像剛才同學(xué)們說(shuō)的，正切線確實(shí)是單位圓的切線的一部分，那么軸上角的正切線又如何呢？注意正切值不是每個(gè)角都有．
生：當(dāng)角α終邊在x軸上時(shí)，T和A重合，正切線退縮成了一個(gè)點(diǎn)，正切值為0；當(dāng)角α終邊在y軸上時(shí)，α的終邊與其反向延長(zhǎng)線和過A的切線平行，沒有交點(diǎn)，正切線不存在，這與y軸上角的正切值不存在是一致的． 師：可以看到正切線的一個(gè)應(yīng)用——幫助我們記憶正切函數(shù)的定義域．現(xiàn)在我們歸納一下任意角α的正弦線、余弦線、正切線的作法．
設(shè)α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，過A（1，0）點(diǎn)作單位圓的切線（x軸的垂線），設(shè)α的終邊或其反向延長(zhǎng)線與這條切線交于T點(diǎn)，那么有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．
利用三角函數(shù)線，我們可以解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)三角函數(shù)的問題．（板書）
4．三角函數(shù)線的應(yīng)用
例1 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>
分析：三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值．比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，可以借助三角函數(shù)線．（由學(xué)生自己畫圖，從圖中的三角函數(shù)線加以判斷．）
（畫出同一個(gè)角的兩種三角函數(shù)線）． 師：例1要求我們根據(jù)角作出角的三角函數(shù)線，反過來(lái)我們要根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而找到角的取值范圍．（板書）
例2 根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角α的終邊，然后求角的取值集合．
分析：
P1，P2兩點(diǎn)，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為
（3）在單位圓過點(diǎn)A（1，0）的切線上取AT=-1，連續(xù)OT，（4）這是一個(gè)三角不等式，所求的不是一個(gè)確定的角，而是適合三、小結(jié)及作業(yè)
單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)．我們應(yīng)掌握三角函數(shù)線的作法，并能運(yùn)用它們解決一些有關(guān)三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時(shí)，要分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序要正確． 作業(yè)
（1）復(fù)習(xí)課本“用單位圓中的線段表示三角函數(shù)”一節(jié)．
（2）課本習(xí)題P178練習(xí)第7題；P192練習(xí)十四第9題；P194練習(xí)十四第22題；P201總復(fù)習(xí)參考題二第20題． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
關(guān)于三角函數(shù)線的教學(xué)，曾有過兩個(gè)設(shè)想：一是三種函數(shù)線在同一節(jié)課交待，第二節(jié)課再講應(yīng)用；另一個(gè)設(shè)想是，第一節(jié)課只出正弦線、余弦線及它們的應(yīng)用，第二節(jié)課引入正切線，及三線綜合運(yùn)用，如比較函數(shù)值的大小、給值求角、解簡(jiǎn)單的三角不等式，證明一些三角關(guān)系式．本教案選擇了前者，原因是利于學(xué)生類比思維．在實(shí)際教學(xué)中，由于教師水平不同，學(xué)生的水平也不相同，教案中的例題可能講不完，或根本不講，但是寧可不講例題，也要讓學(xué)生去猜、去找三角函數(shù)的幾何形式，我希望把三角函數(shù)線的發(fā)現(xiàn)過程展現(xiàn)給學(xué)生，教師不能包辦代替．
數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地加以滲透．通過三角函數(shù)線的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的“形”不單有函數(shù)圖象，還有其他的表現(xiàn)形式．至于在解決有關(guān)三角函數(shù)的問題時(shí)用函數(shù)圖象還是用三角函數(shù)線，則要具體情況具體分析，如證明等式sin2α+cos2α=1，研究同一個(gè)角的正余弦值的大小關(guān)系，都以三角函數(shù)線為好．
高數(shù)三角函數(shù)公式大全 篇7
課
題：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
（一）教
者：王永濤（寧縣四中）
教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：借助單位圓，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式
將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，掌握有關(guān)三角函數(shù)求值問
題。
2.過程與方法：經(jīng)歷誘導(dǎo)公式的探索過程，體驗(yàn)未知到已知、復(fù)雜到
簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)探索的成功感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱
情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
重
點(diǎn)：誘導(dǎo)公式
二、三、四的探究，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求
值，提高對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。
難
點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與任意角終邊的坐標(biāo)之間的聯(lián)系；誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)
用。
教學(xué)方法：合作探究式 教學(xué)手段：多媒體 教學(xué)過程：
一、前置檢測(cè)
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？
π＋α（k∈Z）與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？
3.你能求sin750°和sin930°的值嗎？
二、精講點(diǎn)撥
知識(shí)探究
（一）：π＋α的誘導(dǎo)公式（師生共同探究）。
思考1：210°角與30°角有何內(nèi)在聯(lián)系？240°角與60°角呢? 思考2：若α為銳角，則（180°，270°）范圍內(nèi)的角可以怎樣表示？
思考3：對(duì)于任意給定的一個(gè)角α，角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？
思考4：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則角π＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？
思考5：根據(jù)三角函數(shù)定義，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分別是什么？
思考6：對(duì)比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？
公式二 ：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=－cosα，tan（π＋α）=tanα。
知識(shí)探究
（二）
（三）：－α，π－α的誘導(dǎo)公式（學(xué)生自主合作探究）。
引導(dǎo)學(xué)生回顧剛才探索公式二的過程，明確研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角間關(guān)系→對(duì)稱關(guān)系→坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。為學(xué)生指明探索公式
三、四的方向。
學(xué)生小組自主合作探究，然后讓小組學(xué)生代表闡述探究的過程和結(jié)果。根據(jù)三角函數(shù)定義，得出－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系及π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的關(guān)系。
公式三：sin（－α）= －sinα、公式四：sin(π－α)=sinα，cos（－α）=cosα、cos(π－α)=-－cosα，tan（－α）=－tanα。
tan(π－α)=－tanα。思考1：利用π－α＝π＋(－α)，結(jié)合公式
二、三，你能得到什么結(jié)論？ sin(π－α)= sin[π+（－α）] = －sin（－α）=sinα
cos(π－α)= cos[π+（－α）]= －cos（－α）=－cosα
tan(π－α)= tan[π+（－α）] = tan（－α）=－tanα
思考2：公式一～四都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”。
例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：
（1）cos225°；
（2）sin660°；
（3）tan（??）；
（4）cos（－2040°）。3[變式訓(xùn)練] 將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，并填在題中橫線上：
13(1)cos??;9?
(3)sin()?;5例2 化簡(jiǎn)
(2)sin(1??)?;(4)cos(?70?6)?.??cos1(80??)?sin?(?360)??sin?(??180)?cos?(180??)
[變式訓(xùn)練] 化簡(jiǎn)：
cos190??sin(?210?)?cos(350?)?tan58
5三、當(dāng)堂檢測(cè)
1.利用公式求下列三角函數(shù)值
7?（2）sin(?);
（1）cos(?420?);6
79?(3)sin(330?);（4）cos(?);6
2.化簡(jiǎn)
sin3(??)cos(2???)tan(????).（1）sin(??180?)cos(??)sin(???180?);（2）
四、總結(jié)提升
1.誘導(dǎo)公式都是恒等式，即在等式有意義時(shí)恒成立。
π＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”。
3.利用誘導(dǎo)公式一～四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：任意負(fù)角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0~2π的角的三角函數(shù)→銳角三角函數(shù)。
五、布置作業(yè)
1書面作業(yè)：必做：課本29頁(yè)習(xí)題組
1、2；
選做：課本29頁(yè)習(xí)題B組預(yù)習(xí)作業(yè)：《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》
（二），試用所學(xué)推導(dǎo)公式（
五、六）。
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