下面是范文網(wǎng)小編收集的高考數(shù)形結合教學心得體會共5篇(數(shù)形結合培訓心得體會)，歡迎參閱。

高考數(shù)形結合教學心得體會共1

　　數(shù)形結合學習心得

　　低年段數(shù)學中的數(shù)形結合思想很多。例如：在教學100以內(nèi)進位加法時，我通過課件演示28根小棒加72根小棒兩次滿十進一的過程使學生理解相同數(shù)位對齊、滿十進一的道理。通過多媒體教學，既充分展現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在關系，又激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，為培養(yǎng)學生數(shù)形結合的興趣提供了可靠的保證。

　　又例如：在教學有余數(shù)的除法時，我是利用7根小棒來完成的教學的。首先出示7根小棒，問能拼成幾個三角形？要求學生用除法算式表示拼三角形的過程。像這樣，把算式形象化，學生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解算理。

　　再如：教學連除應用題時，課一始，呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學生嘗試解決時，教師要求學生在正方形中表示出各種算式的意思。學生們經(jīng)過思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。

　　30÷2÷3，學生畫了右圖：平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。

　　30÷3÷2，學生畫了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。

　　30÷（3×2），學生畫了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

　　在教學中我要求學生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎上的演變和創(chuàng)造。因為正方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學生很容易地表達出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關系。通過數(shù)形結合，讓抽象的數(shù)量關系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學生理解。 在教學實踐中，這樣的例子多不勝數(shù)。數(shù)形結合，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學生的思維。數(shù)形結合是學生建構知識的一個拐杖，有了這根拐杖，學生們才能走得更穩(wěn)、更好。

高考數(shù)形結合教學心得體會共2

　　高考沖刺：數(shù)形結合

　　熱點分析 高考動向

　　數(shù)形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數(shù)形結合思想方法的考查，且占比例較大。

　　知識升華

　　數(shù)形結合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數(shù)學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數(shù)學解題中具有極為獨特的策略指導與調(diào)節(jié)作用。

　　具體地說，數(shù)形結合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的討論。

　　選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。 1．高考試題對數(shù)形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數(shù)軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數(shù)圖象的應用；

（4）數(shù)學概念及數(shù)學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結合。

　　2．運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分

　　析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

　　二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

　　量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

　　3．進行數(shù)形結合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

　　4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

(1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

(2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

(3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

　　率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應充分予以

　　重視。

　　5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結合：

　　主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.

　　經(jīng)典例題透析

　　類型一：利用數(shù)形結合思想解決函數(shù)問題

　　1．已知的表達式。

　　思路點撥：依據(jù)函數(shù)定在

，

，若

　　的最小值記為

，寫出

　　的對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數(shù)圖象確上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值。

　　解析：由于，

　　所以拋物線的對稱軸為，開口向上，

①當，即時，最小，即

　　在[t，t+1]上單調(diào)遞增（如圖①所示），

。

∴當x=t時，

②當，即時，

在上遞減，在上遞增（如圖②）。

∴當時，最小，即。

③當，即時，在[t，t+1]上單調(diào)遞減（如圖③）。

∴當x=t+1時，最小，即，

　　圖①

　　圖②

　　圖③

　　綜合①②③得

。

　　總結升華：通過二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)越性。應特別注意，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系進行討論解決。首先確定其對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。

　　舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

　　解析：∵

∴拋物線

，

　　的開口向下，對稱軸是

，如圖所示：

　　在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示，

　　當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，

　　當x=a時，y有最大值，即

。

。

∴a―a+1=2，解得

　　2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

　　當x=1時，y有最大值，即

　　綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設的單調(diào)區(qū)間； ，求

　　在[0，a]上的最大值。

。

?！郺=2。

　　解析：

　　如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，

；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

（2）當a≤1時，

　　當

　　當

，時，

。

【變式3】已知()

(1)若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

(2)當時，都有 ，時，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0, ]

　　|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

　　解析：

(1)若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

　　當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

　　若a≠0，假設，

∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，

∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，

（這是不可能的）

(2)當，時，，

∵，所以，

（圖1）

（圖2）

(1)當即，時（如圖1），則

　　所以是方程的較小根，即

(2)當

　　所以

　　即是方程

，時（如圖2），則的較大根，即

　　時,等號成立），

（當且僅當

　　由于，

　　因此當且僅當

　　時，取最大值

　　類型二：利用數(shù)形結合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關于x的方程

　　有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

　　思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

　　解析：畫出

　　和

　　的圖象，

　　當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

　　又由當曲線

　　與曲線

　　相切時，二者只有一個交點，

　　設切點

　　又直線

，則過切點

，即，得

，

，解得切點，

∴當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

　　誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

　　總結升華：

　　1．解決這類問題時要準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

　　2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

　　方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

　　個函數(shù)的圖象，由圖求解。

　　3．在運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化,便于問題求解。

　　舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是 。

　　解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

　　設（x∈－1，1）

　　如圖：當內(nèi)有1個實根。

　　或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程的取值范圍及這兩個實根的和。

　　有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m

　　解析：將原方程有兩個不同的

　　轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線

　　交點時，求a的范圍及α+β的值。

　　設，，在同一坐標中作出這兩個函數(shù)的圖象

　　由圖可知，當

　　或

　　時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，

　　即對應方程有兩個不同的實數(shù)根，

　　若，設原方程的一個根為，則另一個根為.

∴.

　　若，設原方程的一個根為，則另一個根為，

∴.

　　所以這兩個實根的和為或.

　　且由對稱性可知，這兩個實根的和為

　　或。

　　類型三：依據(jù)式子的結構，賦予式子恰當?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結合解答

3．求函數(shù)的最大值和最小值

　　思路點撥：可變形為，故可看作是兩點和的連線斜率的解求解。

　　方法一：數(shù)形結合

　　如圖，

　　倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反

　　可看作是單位圓上的動點，為圓外一點，

　　由圖可知：

　　設直線

　　的方程：

，顯然

，

，

，解得，

∴

　　方法二：令

，

的幾何意義：

（1）

，

，

　　總結升華：一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式

　　表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；

（2）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；

（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。

　　舉一反三：

【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

　　解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

　　表示點（x，y）與原點的距離，

　　由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。

　　的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，

　　設Q（1，2），，過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

　　將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

　　所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，

　　當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，

　　最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。

，最小值為

。

，

∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

　　解析：

　　的最小值。

　　則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

　　如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），

　　則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（ ）

　　的取

　　A．

　　B．或

　　C．

　　D．或

　　解析：如圖

　　由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，

　　則 ，即

　　下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率

　　可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的

　　則 ，選C。

高考數(shù)形結合教學心得體會共3

一、在理解算理過程中滲透數(shù)形結合思想。

　　小學數(shù)學內(nèi)容中，有相當部分的內(nèi)容是計算問題，計算教學要引導學生理解算理。但在教學中很多老師忽視了引導學生理解算理，尤其在課改之后，老師們注重了算法多樣化，在計算方法的研究上下了很大功夫，卻更加忽視了算理的理解。我們應該意識到，算理就是計算方法的道理，學生不明白道理又怎么能更好的掌握計算方法呢？在教學時，教師應以清晰的理論指導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，正所謂“知其然、知其所以然。”根據(jù)教學內(nèi)容的不同，引導學生理解算理的策略也是不同的，我認為數(shù)形結合是幫助學生理解算理的一種很好的方式。

（一）“分數(shù)乘分數(shù)”教學片段

　　課始創(chuàng)設情境：我們學校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫面），提出問題：裝修工人每小時粉刷這面墻的1/5，1/4小時可以這面墻的幾分之幾？

　　在引出算式1/5×1/4后，教師采用三步走的策略：第一，學生獨立思考后用圖來表示出1/5×1/4這個算式。第二，小組同學相互交流，優(yōu)生可以展示自己畫的圖形，交流自己的想法，引領后進生。后進生受到啟發(fā)后修改自己的圖形，更好地理解1/5×1/4這個算式所表示的意義。第三，全班點評，請一些畫得好的同學去展示、交流。也請一些畫得不對的同學談談自己的問題以及注意事項。

　　這樣讓學生親身經(jīng)歷、體驗“數(shù)形結合”的過程，學生就會看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解分數(shù)乘分數(shù)的算理。如果教師的教學流于形式，學生的腦中就不會真正地建立起“數(shù)和形”的聯(lián)系。

（二）“有余數(shù)除法”教學片段

　　課始創(chuàng)設情境：9根小棒，能搭出幾個正方形？要求學生用除法算式表示搭正方形的過程。

　　生：9÷4

　　師：結合圖我們能說出這題除法算式的商嗎？ 生：2，可是兩個搭完以后還有1根小棒多出來。 師反饋板書：9÷4=2……1，講解算理。

　　師：看著這個算式，教師指一個數(shù)，你能否在小棒圖中找到相對應的小棒？ ……

　　通過搭建正方形，大家的腦像圖就基本上形成了，這時教師作了引導，及時抽象出有余數(shù)的除法的橫式、豎式，溝通了圖、橫式和豎式各部分之間的聯(lián)系。這樣，學生有了表象能力的支撐，有了真正地體驗，直觀、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余數(shù)除法的豎式計算模型。學生學得很輕松，理解得也比較透徹。

二、在教學新知中滲透數(shù)形結合思想。

　　在教學新知時，不少教師都會發(fā)現(xiàn)很多學生對題意理解不透徹、不全面，尤其是到了高年級，隨著各種已知條件越來越復雜，更是讓部分學生“無從下手”?；诖?，把從直觀圖形支持下得到的模型應用到現(xiàn)實生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強化對題意的理解。

（一）“植樹問題”教學片段

　　模擬植樹，得出線上植樹的三種情況。

　　師：“ ”代表一段路，用“/”代表一棵樹，畫“/”就表示種了一棵樹。請在這段路上種上四棵樹，想想、做做，你能有幾種種法？

　　學生操作，獨立完成后，在小組里交流說說你是怎么種的？

　　師反饋，實物投影學生擺的情況。師根據(jù)學生的反饋相應地把三種情況都貼于黑板：

①\\\\___\\\\___\\\\___\\\\兩端都種

②\\\\___\\\\___\\\\___\\\\___或___\\\\___\\\\___\\\\___\\\\一端栽種 ③___\\\\___\\\\___\\\\___\\\\___兩端都不種

　　師生共同小結得出：兩端都種：棵數(shù)＝段數(shù)＋1；一端栽種：棵數(shù)=段數(shù)；兩端都不種：棵數(shù)=段數(shù)—1。

　　以上片段教師利用線段圖幫助學生學習。讓學生有可以憑借的工具，借助數(shù)形結合將文字信息與學習基礎融合，使得學習得以繼續(xù)，使得學生思維發(fā)展有了憑借，也使得數(shù)學學習的思想方法真正得以滲透。

（二）連除應用題教學片段

　　課一開始，教師呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學生嘗試解決時，教師要求學生在正方形中表示出各種算式的意思。學生們經(jīng)過思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。

　　30÷2÷3，學生畫了右圖：先平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。 30÷3÷2，學生畫了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。 30÷（3×2），學生畫了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。 以上片段，教師要求學生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎上的演變和創(chuàng)造。因為正方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學生很容易地表達出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關系。通過數(shù)形結合，讓抽象的數(shù)量關系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學生理解。

三、在數(shù)學練習題中挖掘數(shù)形結合思想。 運用數(shù)形結合是幫助學生分析數(shù)量關系，正確解答應用題的有效途徑。它不僅有助于學生邏輯思維與形象思維協(xié)調(diào)發(fā)展，相互促進，提高學生的思維能力，而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和數(shù)學意識。

（一）三角形面積計算練習

　　人民醫(yī)院包扎用的三角巾是底和高各為9分米的等腰三角形?，F(xiàn)在有一塊長72分米，寬18分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？

　　有些學生列出了算式:72×18÷（9×9÷2）,但有些學生根據(jù)題意畫出了示意圖,列出72÷9×（18÷9）×

2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等幾種算式。

　　在上面這個片段中,數(shù)形結合很好地促進學生聯(lián)系實際，靈活解決數(shù)學問題，而且還有效地防止了學生的生搬硬套，打開了學生的解題思路，由不會解答到用多種方法解答，學生變聰明了。

（二）百分數(shù)分數(shù)應用題練習

　　參加乒乓球興趣小組的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，這時男生占總?cè)藬?shù)的2/3。問后來又加入男生多少人？

　　先把題中的數(shù)量關系譯成圖形，再從圖形的觀察分析可譯成：若把原來的總?cè)藬?shù)80人看作5份，則男生占3份，女生占2份，因而推知現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)為6份，加入的男生為6—5=1份，得加入的男生為80÷5=16（人）。

　　從這題不難看出：“數(shù)”、“形”互譯的過程。既是解題過程，又是學生的形象思維與抽象思維協(xié)同運用、互相促進、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要而巧妙。

高考數(shù)形結合教學心得體會共4

《數(shù)形結合》教學心得

　　邢茂華

　　小學數(shù)學教學擔負著培養(yǎng)小學生數(shù)學素養(yǎng)的特殊任務，而數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的本質(zhì)所在，因此我們必須給予充分的重視和關注。數(shù)學新課程標準也明確指出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生應該獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能。”在數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想比教給學生眾多的數(shù)學知識更為重要，沒有數(shù)學思想的數(shù)學知識，無疑是像一盤散落的珍珠，難以發(fā)出它應有的光彩。掌握科學的數(shù)學思想方法對提升學生的思維品質(zhì)，對數(shù)學學科的后繼學習，對其它學科的學習，乃至對學生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。就“數(shù)形結合思想”來說，它在小學學習中是一種非常重要的數(shù)學思想方法，也是一種很好的教學方法。利用“數(shù)形結合”的思想方法能使數(shù)和形在學習中有機地統(tǒng)一起來，借助于形的直觀來理解抽象的數(shù)，運用數(shù)和式來細致入微地刻畫形的特征。直觀與抽象相互配合、相互依存，有助于學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)，提高學生的數(shù)學學習能力和解決問題的能力。從低段學生的學習特點來分析，他們經(jīng)常是以無意注意為主，更多的是關注“有趣、好玩、新奇的事物”，再加上他們的思維大多是以形象思維為主，理解抽象知識的難度很大。在實際教學中，如果我們教師能夠科學運用數(shù)形結合的思想方法，把抽象內(nèi)容形象化，有助于學生理解數(shù)學的實質(zhì)，提高數(shù)學的思維水平。下面就自己的教學實踐做一些思考。

一、數(shù)形結合，使概念掌握得更扎實。

　　對于小學一年級的學生來說，許多數(shù)學概念比較抽象，很難理解，特別需要視覺的有效應用，因此有時教師可采用數(shù)形結合的思想展開概念的教學，運用圖形提供一定的數(shù)學問題情境，通過對圖形的分析，幫助學生理解數(shù)學概念。例如，在教學100以內(nèi)的數(shù)的認識時，學生大多對100以內(nèi)的數(shù)順背、倒背如流，看上去掌握得很不錯。于是我出示了這樣一道題考考學生：66接近70還是60呢？結果卻發(fā)覺好多學生都不會。分析其原因主要是有些學生只是機械地會背這些數(shù)，關于數(shù)的順序、大小等方面的知識其實掌握不佳，因而需要教師創(chuàng)設一定的情境讓學生進一步感知和學習的。于是我在黑板上畫了一條數(shù)軸，稱它是一條帶箭頭的線，在數(shù)軸上逐一標出60～70，將抽象的數(shù)在可看得見的線上形象、直觀地表示出來，將數(shù)與位置建立一一對應關系，這樣就有助于學生理解數(shù)的順序、大小。標出數(shù)字后我又在60和70處畫了兩幢房子，提問：“67這個數(shù)它喜歡去誰的家呢？”看著圖畫，幾乎所有的學生都回答：“喜歡去70的家，因為66距離70比較近”。隨后教師進一步說明：66再數(shù)4就是70，60要數(shù)6才是66，很顯然是66接近70。這樣，通過數(shù)軸的幫助，讓學生把數(shù)與形進行合理的聯(lián)系，從而確定了數(shù)的范圍，使學生在頭腦中建立了形象的數(shù)的模型，形成了一個直觀的幾何表象，這對培養(yǎng)學生的數(shù)感是很有效的。從以上的設計和學習過程中我們不難發(fā)現(xiàn)：“數(shù)”的思考、“形”的創(chuàng)設，既激發(fā)了學生的學習興趣，又能有效地提高學生的數(shù)學思維水平。

二、數(shù)形結合，使算法理解得更透徹。

　　在小學數(shù)學課堂教學中，教師不但要教給學生知識，更重要的是讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，有計劃、有意識地讓學生掌握各種不同的探究策略，這是落實數(shù)學新課程目標、提高學生數(shù)學素養(yǎng)的必由之路。數(shù)形結合不僅是一種思想，也是一種很好的教學方法。在計算教學中，許多算理學生模棱兩可，如能做到數(shù)形結合，學生可以更透徹地理解和掌握。如：教學20以內(nèi)的進位加法時，我先創(chuàng)設生活情境，用談話的方式引入：學校開運動會，后勤處的阿姨分給小朋友每人一個面包，分完后還剩下一些，老師用簡單的圖畫表示（如圖），繼而問學生：“這幅圖告訴我們什么，可以提出什么數(shù)學問題？”學生回答：“第一盒有9只面包，第二盒有5只，一共有多少只？”我接著提問：“算式怎么列？”“9＋5是多少，你有什么好辦法能計算出正確結果？” 四人小組展開討論。在反饋中，我根據(jù)學生的回答，通過移動其中一只盒內(nèi)的面包（可以把第一盒的5只面包移到第二盒中，也可以把第二盒的1只面包移到第一盒中），把另外一盒的面包裝滿，這其實就是湊十法的真正意義所在。通過這樣的教學設計，把抽象的湊十法借助于形象的圖示，使學生容易理解。通過數(shù)形結合，既強化了9加幾的算法，又深刻理解了這個算法的算理所在，突破教學的重點和難點，收到了很好的教學效果。

三、數(shù)形結合，使問題解決得更形象。

　　新教材中的解決問題領域的學習內(nèi)容，不同于老教材的編排形式和學習背景，而是遍布于各個章節(jié)的具體數(shù)學學習內(nèi)容中，它重視了數(shù)學知識和生活實際之間的聯(lián)系，淡化了解決問題的類型，為學生的解答帶來了很大困難，尤其是一年級學生。因此，在教學的實踐過程中，適時采用數(shù)形結合思想，把抽象的問題解決放在直觀的情境中，在直觀圖示的導引和教師的啟發(fā)下，學生就能比較容易地理解各種數(shù)量之間的關系，從而能有效提高學生比較、分析和綜合的思維能力。例如，在一年級上冊經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的題目：小明的前面有5人，小明的后面有3人，一共有幾人？這種類型的題目比較容易解答，大部分學生會思考：小明前面的人數(shù)加上小明再加上小明后面的人數(shù)，就是總?cè)藬?shù)。但往往在這題的后面，又會出現(xiàn)這樣的題目：從前往后數(shù)，小明是第5個，從后往前數(shù)，小明是第6個，一共有幾個小朋友？列成算式是：5＋6－1。這兩道題目使學生的思維受到了嚴重干擾，什么時候加1，什么時候減1？對于一年級的孩子來說這是很難用語言去表達清楚的。在教學過程中，若采用數(shù)形結合的思想，畫畫圓圈，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，一切問題就會迎刃而解。尤其是第二個問題，通過圖示，使學生明白為何要減1，因為小明算了2次。

　　在解決問題中，除了用圖示法，教師還經(jīng)常使用線段圖幫助學生理解題意、分析數(shù)量關系。其實，線段圖就是采用了數(shù)與形相結合的形式，將事物之間的數(shù)量關系明顯地表達出來，可以使抽象問題具體化、復雜問題簡單化，為正確解題創(chuàng)造了條件。利用數(shù)形結合解題，實際上是一個“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的過程，即把題目中的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化成圖形，將抽象的數(shù)量關系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步轉(zhuǎn)化成算式，以達到問題的解決?！耙粓D抵百語”，讓學生逐步養(yǎng)成畫圖思考的習慣，感受到數(shù)與形結合的優(yōu)點，從而提高學生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，實現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補，相輔相成。

四、數(shù)形結合，使圖形認識得更全面。

　　在一年級的教學過程中，大多是根據(jù)圖形的呈現(xiàn)來解決抽象的數(shù)學問題，但有時利用“數(shù)”來指導“形”，可以使圖形的教學更嚴謹、更科學，學生對圖形的認識更全面。例如在教學完常見的平面圖形和立體圖形后，在練習冊中出現(xiàn)數(shù)線段和數(shù)角的題目（如圖）。第一幅圖學生可采用直接數(shù)的方法，得到有3條線段。但數(shù)第二幅圖中的線段的條數(shù)時難度就大了。教師應該引導學生有序地數(shù)，從左邊的第一個點出發(fā)有幾條線段，從第二個點出發(fā)有幾條線段??依次類推。也可引導學生這樣數(shù)：有一條基本線段組成的線段有幾條，有兩條基本線段組成的線段有幾條??依次類推。在有序的數(shù)數(shù)中得到，求線段的總條數(shù)可列成算式：5＋4＋3＋2＋1。用算術的方法既克服了數(shù)線段的繁瑣，又提高了正確率。同樣地，以一年級上冊“認識物體”為例，教學目標是學生會認長方體、正方體、球等一些基本的立體圖形。教師除了教學生認識這些圖形外，還可以讓他們數(shù)一數(shù)這些圖形有幾個尖尖的點（就是頂點）、幾條線（就是棱）、幾個面。經(jīng)常在教學中滲透數(shù)形結合的思想，就會在學生頭腦中播下了形與數(shù)有密切聯(lián)系的種子，久而久之，學生也就會逐漸體會到數(shù)學中形與數(shù)之間的無限魅力。

　　總之，在小學數(shù)學教學中，數(shù)形結合抓住了數(shù)與形之間的聯(lián)系，以“形”的直觀表達數(shù)，以“數(shù)”的精確研究形，能不失時機地為學生提供恰當?shù)男蜗蟛牧?，將抽象的?shù)量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利的、高效率的學好數(shù)學知識，更有利于學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、數(shù)學活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學思想方法的滲透，使數(shù)學教學收到事半功倍之效。尤其對于低年級的小學生，巧妙地運用數(shù)形結合思想，使得數(shù)學教學充滿樂趣，學生才能真正喜愛數(shù)學，學好數(shù)學，用好數(shù)學。

高考數(shù)形結合教學心得體會共5

　　高考數(shù)學解題方法（數(shù)形結合）

一、知識整合

　　1．數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。

　　2．實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；②函數(shù)與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。

　　如等式(x?2)2?(y?1)2?4

　　3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”。

　　4．數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

二、例題分析

　　k的取值范圍。

　　例1.若關于x的方程x?2kx?3k?0的兩根都在?1和3之間，求

　　分析：令f(x)?x?2kx?3k，其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)?0 22f(3)?0， 的解，由y?f(x)的圖象可知，要使二根都在?13，之間，只需f(?1)?0，f(?b)?f(?k)?0同時成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0) 2a

　　例2.解不等式x?2?x

　　解：法

一、常規(guī)解法：

?x?0?

　　原不等式等價于(I)?x?2?0?x?2?x2??x?0或(II)?

?x?2?0

　　解(I)，得0?x?2；解(II)，得?2?x?0

　　綜上可知，原不等式的解集為{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

　　法

二、數(shù)形結合解法：

　　令y1?x?2，y2?x，則不等式x?2?x的解，就是使y1?x?2的圖象

　　在y2?x的上方的那段對應的橫坐標，如下圖，不等式的解集為{x|xA?x?xB}

　　而xB可由x?2?x，解得，xB?2，xA??2，故不等式的解集為{x|?2?x?2}。

　　例3.已知0?a?1，則方程a|x|?|logax|的實根個數(shù)為(

　　個 個

　　個

　　個或2個或3個

)

　　分析：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象y?a|x|與y?|logax|的交點個數(shù)，畫 出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。

　　例4.如果實數(shù)x、y滿足(x?2)?y?3，則22y的最大值為(x)

　　分析：等式(x?2)?y?3有明顯的幾何意義，它表坐標平面上的一個圓，

　　圓心為(2，0)，半徑r?3，(如圖)，而yy?0?則表示圓上的點(x，y)與坐 xx?0標原點(0，0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A

　　在以(2，0)為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖 可見，當∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最

　　大值為tg60°?3

　　x2y2??1，求y?3x的最大值與最小值

　　例5.已知x，y滿足1625x2y2??1下求最值問題，常采用

　　分析：對于二元函數(shù)y?3x在限定條件1625構造直線的截距的方法來求之。

　　令y?3x?b，則y?3x?b，

　　x2y2??1上求一點，使過該點的直線斜率為3，

　　原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓162

　　5且在y軸上的截距最大或最小，

　　x2y2??1相切時，有最大截距與最小

　　由圖形知，當直線y?3x?b與橢圓1625截距。

?y?3x?b?

?x2?169x2?96bx?16b2?400?0 y2?16?25?1?

　　由??0，得b?±13，故y?3x的最大值為13，最小值為?13。 ???x?3cos???(0????)?，集合N?{(x，y)|y?x?b}

　　例6.若集合M??(x，y)????y?3sin???且M?N≠?，則b的取值范圍為。

　　分析：M?{(x，y)|x2?y2?9，0?y?1}，顯然，M表示以(0，0)為圓心， 以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

　　距為b，由圖形易知，欲使M?N≠?，即是使直線y?x?b與半圓有公共點， 顯然b的最小逼近值為?3，最大值為32，即?3?b?32

　　x2y2??1上一點，它到其中一個焦點F1的距離為2，N為

　　例7.點M是橢圓2516MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（

）

　　分析：①設橢圓另一焦點為F2，（如圖）， 則|MF1|?|MF2|?2a，而a?5

　　|MF1|?2，∴|MF2|?8

　　又注意到N、O各為MF

1、F1F2的中點，

∴ON是△MF1F2的中位線， ∴|ON|?11|MF2|?×8?4 2

　　2②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的坐標，進而求MF1中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復雜。

　　例8.已知復數(shù)z滿足|z?2?2i|?2，求z的模的最大值、最小值的范圍。

　　分析：由于|z?2?2i|?|z?(2?2i)|，有明顯的幾何意義，它表示復數(shù)z對應的

　　點到復數(shù)2+2i對應的點之間的距離，因此滿足|z?(2?2i)|?2的復數(shù)z對應點 Z，在以(2，2)為圓心，半徑為2的圓上，(如下圖)，而|z|表示復數(shù)z對應的 點Z到原點O的距離，顯然，當點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值， |z|min?2，|z|max?32，

∴|z|的取值范圍為[2，32]

　　sinx?2的值域。

　　Cosx?2sinx?2得ycosx?2y?sinx?2，

　　解法一（代數(shù)法）：則y?cosx?

　　2例9.求函數(shù)y?x?ycosx??2y?2，y2?1sinx(??)??2y?2

　　sin

∴sin(x??)??2y?2y?12，而|sin(x??)|?1

?4?7?4?7?y? 3

　　3 ∴|?2y?2y2?1|?1，解不等式得

∴函數(shù)的值域為[?4?7?4?7，] 33y?y1sinx?2 的形式類似于斜率公式y(tǒng)?2cosx?2x2?x

　　1解法二（幾何法）：y?

y?sinx?2表示過兩點P0(2，?2)，P(cosx，sinx)的直線斜率

　　Cosx?2

　　由于點P在單位圓x2?y2?1上，如圖,

　　顯然，kP0A?y?kP0B

　　設過P0的圓的切線方程為y?2?k(x?2)

　　則有|2k?2|k2?1?1，解得k??4±73即kP0A??4?7?4?7，kP0B?

　　33∴?4?7?4?7?4?7?4?7，] ?y?

∴函數(shù)值域為[3333例10.求函數(shù)u?2t?4?6?t的最值。

　　分析：由于等號右端根號內(nèi)t同為t的一次式，故作簡單換元2t?4?m，無法 轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。

　　解：設x?2t?4，y?6?t，則u?x?y

且x2?2y2?16(0?x?4，0?y?22)

　　所給函數(shù)化為以u為參數(shù)的直線方程y??x?u，它與橢圓x2?2y2?16在 第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）

umin?22

　　相切于第一象限時，u取最大值

?y??x?u22

?2?3x?4ux?2u?16?0 2?x?2y?16

解???，得u?±26，取u?26

∴umax?26

三、總結提煉

　　數(shù)形結合思想是解答數(shù)學試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。

四、強化訓練

　　見優(yōu)化設計。 【模擬試題】

一、選擇題：

1.方程lgx?sinx的實根的個數(shù)為（

）

　　個 個

　　個

　　個

2.函數(shù)y?a|x|與y?x?a的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）

　　A.(1，??)

　　B.(?1，1)

　　D.(??，?1)?(1，??)

　　C.(??，?1]?[1，??)

3.設命題甲：0?x?3，命題乙：|x?1|?4，則甲是乙成立的（

）

　　A.充分不必要條件

　　C.充要條件

　　B.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

4.適合|z?1|?1且argz?

　　個

?4的復數(shù)z的個數(shù)為（

）

　　個

　　個 個

5.若不等式x?a?x(a?0)的解集為{x|m?x?n}，且|m?n|?2a，則a的值為（

）

6.已知復數(shù)z1?3?i，|z2|?2，則|z1?z2|的最大值為（

）

?

?10

?22

7.若x?(1，2)時，不等式(x?1)?logax恒成立，則a的取值范圍為（

）

　　A.（0，1） B.（1，2）

　　C.（1，2]

　　D.[1，2]

8.定義在R上的函數(shù)y?f(x)在(??，2)上為增函數(shù)，且函數(shù)y?f(x?2)的圖象的對稱軸為x?0，則（

）

(?1)?f(3)

(?1)?f(?3)

二、填空題：

9.若復數(shù)z滿足|z|?2，則|z?1?i|的最大值為___________。

210.若f(x)?x?bx?c對任意實數(shù)t，都有f(2?t)?f(2?t)，則f(1)、f(?3)、

(0)?f(3) (2)?f(3)

　　f(4)由小到大依次為___________。

11.若關于x的方程x2?4|x|?5?m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為___________。

12.函數(shù)y?x2?2x?2?x2?6x?13的最小值為___________。

13.若直線y?x?m與曲線y?1?x2有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是___________。

三、解答題：

14.若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]上有唯一解，

　　求m的取值范圍。

15.若不等式4x?x2?(a?1)x的解集為A，且A?{x|0?x?2}，求a的取值范圍。

16.設a?0且a≠1，試求下述方程有解時k的取值范圍。

　　log((x?a) ax?ak)?loga222【試題答案】

一、選擇題

　　提示：畫出y?sinx，y?lgx在同一坐標系中的圖象，即可。

　　提示：畫出y?a|x|與y?x?a的圖象

　　情形1：??a?0?a?1 a?1?

　　情形2：?

　　提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應的復數(shù)滿足條?a?0?a??1

?a??1件argz??，另外，點O對應的復數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足argz??，故滿足44條件的z有兩個。

　　提示：畫出y?x?ay?x的圖象，依題意，m??a，n?a，a?a?a?a?0或2。

　　提示：由|z2|?2可知，z2對應的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，

　　而|z1?z2|?|z2?(?z1)|?|z2?(?3?i)|

　　表示復數(shù)z2與?3?i對應的點的距離，

　　結合圖形，易知，此距離的最大值為：

　　|PO|?r?(?3?0)2?(1?0)2?2?10?2

　　提示：令y1?(x?1)2，y2?logax，

　　若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當x?(1，2)時，

　　從而

　　要使y1?y2，只需使loga2?(2?1)2，即a?2，綜上可知

　　當1?a?2時，不等式(x?1)2?logax對x?(1，2)恒成立。

　　若0?a?1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當x?(1，2)時，不等式(x?1)2?logax恒不成立。

　　可見應選C

　　提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在（??，2）上為增函數(shù)，可知，f(x)在(2，??)上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。

二、填空題：

?2

　　提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復數(shù)Z對應的點在圓O上運動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復數(shù)Z與－1+i對應的兩點的距離。

　　由圖形，易知，該距離的最大值為2?2。

(1)?f(4)?f(?3)

　　提示：由f(2?t)?f(2?t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f(x)?x2?bx?c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f(1)、f(?3)、f(4)的大小。

?(1，5)

　　提示：設y1?x2?4|x|?5y2?m，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x2?4|x|?5?m有四個不相等實根，只需使1?m?5

12.最小值為13

　　2提示：對x?2x?2?(x?1)??1?(x?1)2?(1?0)2，聯(lián)想到兩點的距離公

(x?3)2?(1?3)2表示點（x，

　　2式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，x?6x?13?1）到點（3，3）的距離，于是y?x2?2x?2?x2?6x?13表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得ymin?13。

?(?2，?1]

　　提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而y?1?x2則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距?m?[1，2)，即m?(?2，?1]。

三、解答題：

??x2?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0

14.解：原方程等價于? ??0?x?30?x?3???x2?4x?3?m???x2?3x?m?3?x?

　　令y1??x2?4x?3，y2?m，在同一坐標系內(nèi)，畫出它們的圖象，

　　其中注意0?x?3，當且僅當兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當m=1，或?3?m?0時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]?{1}。

　　注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。

15.解：令y1?4x?x2，y2?(a?1)x，其中y1?4x?x2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，y2?(a?1)x表示過原點的直線系，不等式4x?x2?(a?1)x的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。

　　由于不等式解集A?{x|0?x?2}

　　因此，只需要a?1?1，∴a?2

∴a的取值范圍為（2，+?）。

16.解：將原方程化為：loga(x?ak)?loga

∴x?ak?x2?a2，

　　x2?a2，且x?ak?0，x2?a2?0

　　令y1?x?ak，它表示傾角為45°的直線系，y1?0

　　令y2?（a，0）的等軸雙曲線在x2?a2，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）x軸上方的部分，y2?0

∵原方程有解，

∴兩個函數(shù)的圖象有交點，由下圖，知

?ak?a或?a??ak?0

∴k??1或0?k?1

∴k的取值范圍為(??，?1)?(0，1)

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