小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板6篇簡單的等差數(shù)列求和教案小學

時間：2023-01-20 16:24:42 教案

　　下面是范文網(wǎng)小編分享的小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板6篇簡單的等差數(shù)列求和教案小學，供大家賞析。

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板1

　　課題：等比數(shù)列前項和的公式

　　教學目標

（1）通過教學使學生掌握等比數(shù)列前項和公式的推導過程，并能初步運用這一方法求一些數(shù)列的前項和.（2）通過公式的推導過程，培養(yǎng)學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數(shù)學素質(zhì).（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.教學重點，難點

　　教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路.教學方法

　　引導發(fā)現(xiàn)法.教學過程

　　一、新課引入：

（問題見教材第26頁）提出問題：1?2?22?…?229=?

　　二、新課講解：

　　記s?1?2?22???229，式中有3項，后項與前項的比為公比2，當每一項都乘以2后，中間有29項是對應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.即s?1?2?22???229，①

　　2s?2?22???229?230, ②

②－①得 2s?s?230?1,即s?230?1;由此對于一般的等比數(shù)列，其前n項和sn?a1?a1q?a1q2?a1q3???a1qn?1，如何化簡？

　　等比數(shù)列前項n和公式

　　仿照公比為2的等比數(shù)列求和方法，等式兩邊應(yīng)同乘以等比數(shù)列的公比q，即

　　sn?a1?a1q?a1q2?a1q3???a1qn?1 ③, 兩端同乘以q，得

　　2sn?a1q?a1q2?a1q3??a1qn?1?a1qn

④, ③－④得（提問學生如何處理，適時提醒學生注意的（1-q）sn?a1?a1qn ⑤，取值）

　　當q?1時，由③可得sn?na1,（不必導出④，但當時設(shè)想不到）當q?1時，由⑤得

　　a1(1?qn)。

　　sn?1?q反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如的數(shù)列的和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.（板書）例題：求和：

　　s?1234n ?2?3?4???n設(shè), 其中?n?為等差數(shù)列，為2n等比數(shù)列，公比為1，利用錯位相減法求和.2??解：

　　s??22?33?44???nn

　　兩端同乘以1，得 s?2?23?34?45???nn?兩式相減得

　　ns??2?3?4???n?n?

　　于是，所以1n11s?2?n?1?n(1?n)1222?ns?2n??2

　　說明：錯位相減法實際上是把一個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.公式其它應(yīng)用問題注意對公比的分類討論即可.三、小結(jié)：

　　1.等比數(shù)列前n項和公式推導中蘊含的思想方法以及公式的應(yīng)用；

　　2.用錯位相減法求一些數(shù)列的前n項和.

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板2

　　數(shù)學教案－等差數(shù)列_高一數(shù)學教案_模板

§等差數(shù)列

　　目的：1.要求學生掌握等差數(shù)列的概念

　　2.等差數(shù)列的通項公式，并能用來解決有關(guān)問題。

　　重點：1.要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，只要證明an+1-an等于常數(shù)即可（這里n≥1,且n∈N*）2.等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N*).3．等到差中項：若a、A、b成等差數(shù)列，則A叫做a、b的等差中項，且

　　難點：等差數(shù)列“等差”的特點。公差是每一項（從第2項起）與它的前一項的關(guān)絕對不能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

　　等差數(shù)列通項公式的含義。等差數(shù)列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數(shù)列的首項和公差已知，那么，這個等差數(shù)列就確定了。過程：

　　一、引導觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，……，，…… 12，9，6，3，……

　　特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數(shù)—“等差” 二、得出等差數(shù)列的定義：（見P115）

　　注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)。1．名稱：AP 首項

　　公差

　　2．若

　　則該數(shù)列為常數(shù)列

　　3．尋求等差數(shù)列的通項公式：

　　由此歸納為

　　當時

（成立）

　　注意: 1° 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)

　　2° 如果通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP 證明：若

　　它是以為首項，為公差的AP。

　　3° 公式中若

　　則數(shù)列遞增，則數(shù)列遞減

　　4° 圖象：一條直線上的一群孤立點

　　三、例題：注意在中，，四數(shù)中已知三個可以

　　求出另一個。例1（P115例一）

　　例2（P116例二）注意：該題用方程組求參數(shù) 例3（P116例三）此題可以看成應(yīng)用題四、關(guān)于等差中項：如果成AP 則

　　證明：設(shè)公差為，則

∴

　　例4 《教學與測試》P77 例一：在-1與7之間順次插入三個數(shù) 使這五個數(shù)成AP，求此數(shù)列。

　　解一：∵ ∴ 是-1與7 的等差中項 ∴

　　又是-1與3的等差中項 ∴

　　又是1與7的等差中項 ∴

　　解二：設(shè)

∴

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7 五、判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

　　1．定義法：即證明

　　例5、已知數(shù)列的前項和，求證數(shù)列成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。

　　解：

　　當時

　　時亦滿足 ∴

　　首項

∴ 成AP且公差為6 2．中項法：即利用中項公式，若則成AP。

　　例6 已知，成AP，求證，也成AP。

　　證明： ∵，成AP

∴ 化簡得：

∴，也成AP 3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

　　例7 設(shè)數(shù)列其前項和，問這個數(shù)列成AP嗎？

　　解：時時

∵

∴

∴ 數(shù)列不成AP 但從第2項起成AP。

　　五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項、等差數(shù)列的證明方法六、作業(yè)： P118習題3．2 1-9 七、練習：

　　1．已知等差數(shù)列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,寫出數(shù)列的通項公式及在數(shù)列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數(shù)列，并求出其公差。

　　注：不能只計算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等幾項等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。

　　3．在1和101中間插入三個數(shù)，使它們和這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，求插入的三個數(shù)。

　　4．在兩個等差數(shù)列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內(nèi)相同項的個數(shù)。

　　分析：本題可采用兩種方法來解。

（1）用不定方程的求解方法來解。關(guān)鍵要從兩個不同的等差數(shù)列出發(fā)，根據(jù) 相同項，建立等式，結(jié)合整除性，尋找出相同項的通項。

（2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解。關(guān)鍵要抓?。簝蓚€等差數(shù)列的相同項按原來的前后次序仍組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)。

　　5．在數(shù)列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求Sn。

　　分析：只要證明(n≥2)為一個常數(shù)，只需將遞推公式中的an轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-1后再變形，便可達到目的。

　　6．已知數(shù)列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，則這個數(shù)列的第10項為（）

　　a 18 B 19 C 20 D21 7．已知等差數(shù)列{an}的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的公式為（）

　　a 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1 8.已知m、p為常數(shù)，設(shè)命題甲：a、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差數(shù)列，那么甲是乙的（）

　　a 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件

　　C 充要條件 D既不必要也不充分條件 9．（1）若等差數(shù)列{an}滿足a5=b,a10=c(b≠c),則a15=

（2）首項為-12的等差數(shù)列從第8項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是

（3）在正整數(shù)100至500之間能被11整除的整數(shù)的個數(shù)是

　　10．已知a5=11,a8=5,求等差數(shù)列{an}的通項公式。11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項Sn=n2+2n+4(n∈N*)(1)寫出這個數(shù)列的前三項a1,a2,a3;(2)證明：除去首項后所成的數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

　　12．已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少個共同的項？

　　13．若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4個根可以組成首項為的等到差數(shù)列，求a+b 的值。

　　教學目標

　　1.通過教學使學生理解等比數(shù)列的概念，推導并掌握通項公式.

　　2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力.

　　3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.教學重點，難點

　　重點、難點是等比數(shù)列的定義的歸納及通項公式的推導.教學用具

　　投影儀，多媒體軟件，電腦.教學方法

　　討論、談話法.教學過程一、提出問題

　　給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準.（幻燈片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1，，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，，－，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

　　由學生發(fā)表意見（可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列）.二、講解新課

　　請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù) 這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——等比數(shù)列.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）等比數(shù)列（板書）

　　1.等比數(shù)列的定義（板書）

　　根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給等比數(shù)列下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學生概括出來的.教師寫出等比數(shù)列的定義，標注出重點詞語.請學生指出等比數(shù)列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概括這類數(shù)列的一般形式，學生可能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又是等比數(shù)列，讓學生討論后得出結(jié)論：當時，數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列，當時，它只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.教師追問理由，引出對等比數(shù)列的認識：

　　2.對定義的認識（板書）

（1）等比數(shù)列的首項不為0；

（2）等比數(shù)列的每一項都不為0，即；

　　問題：一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為等比數(shù)列的什么條件？

（3）公比不為0.用數(shù)學式子表示等比數(shù)列的定義.是等比數(shù)列

①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是等比數(shù)列

？為什么不能？

　　式子給出了數(shù)列第項與第項的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個等比數(shù)列？（不能）確定一個等比數(shù)列需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式.3.等比數(shù)列的通項公式（板書）

　　問題：用和表示第項.①不完全歸納法

.②疊乘法，…，這個式子相乘得，所以.（板書）（1）等比數(shù)列的通項公式

　　得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.（板書）（2）對公式的認識

　　由學生來說，最后歸結(jié)：

①函數(shù)觀點；

②方程思想（因在等差數(shù)列中已有認識，此處再復(fù)習鞏固而已）.這里強調(diào)方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應(yīng)用，請學生舉例（應(yīng)能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的訓練）

　　如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究.同學可以試著編幾道題.三、小結(jié)

　　1.本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念，得到了通項公式；

　　2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；

　　3.用方程的思想認識通項公式，并加以應(yīng)用.四、作業(yè)（略）五、板書設(shè)計

　　三.等比數(shù)列 1.等比數(shù)列的定義 2.對定義的認識

　　3.等比數(shù)列的通項公式（1）公式

（2）對公式的認識

　　教學目標

（1）掌握與（）型的絕對值不等式的解法．

（2）掌握與（）型的絕對值不等式的解法．

（3）通過用數(shù)軸來表示含絕對值不等式的解集，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的能力；

（4）通過將含絕對值的不等式同解變形為不含絕對值的不等式，培養(yǎng)學生化歸的思想和轉(zhuǎn)化的能力；

　　教學重點：

　　型的不等式的解法；

　　教學難點：利用絕對值的意義分析、解決問題．教學過程設(shè)計教師活動學生活動設(shè)計意圖一、導入新課

【提問】正數(shù)的絕對值什么？負數(shù)的絕對值是什么？零的絕對值是什么？舉例說明？【概括】

　　口答

　　絕對值的概念是解與（）型絕對值不等值的概念，為解這種類型的絕對值不等式做好鋪墊．二、新課

【導入】2的絕對值等于幾？－2的絕對值等于幾？絕對值等于2的數(shù)是誰？在數(shù)軸上表示出來．

【講述】求絕對值等于2的數(shù)可以用方程來表示，這樣的方程叫做絕對值方程．顯然，它的解有二個，一個是2，另一個是－2．【提問】如何解絕對值方程．

【設(shè)問】解絕對值不等式，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？【講述】根據(jù)絕對值的意義，由右面的數(shù)軸可以看出，不等式的解集就是表示數(shù)軸上到原點的距離小于2的點的集合．

【設(shè)問】解絕對值不等式，由絕對值的意義你能在數(shù)軸上畫出它的解嗎？這個絕對值不等式的解集怎樣表示？

【質(zhì)疑】的解集有幾部分？為什么也是它的解集？

【講述】這個集合中的數(shù)都比－2小，從數(shù)軸上可以明顯看出它們的絕對值都比2大，所以是解集的一部分．在解時容易出現(xiàn)只求出這部分解集，而丟掉這部解集的錯誤．【練習】解下列不等式：（1）；（2）

【設(shè)問】如果在中的，也就是怎樣解？

【點撥】可以把看成一個整體，也就是把看成，按照的解法來解．

　　所以，原不等式的解集是

【設(shè)問】如果中的是，也就是怎樣解？

【點撥】可以把看成一個整體，也就是把看成，按照的解法來解．，或，由得

　　由得

　　所以，原不等式的解集是

　　口答．畫出數(shù)軸后在數(shù)軸上表示絕對值等于2的數(shù)．畫出數(shù)軸，思考答案

　　不等式的解集表示為

　　畫出數(shù)軸思考答案

　　不等式的解集為

　　或表示為，或

　　筆答（1）

（2），或

　　筆答筆答

　　根據(jù)絕對值的意義自然引出絕對值方程（）的解法．

　　由淺入深，循序漸進，在（）型絕對值方程的基礎(chǔ)上引出（）型絕對值方程的解法．針對解（）絕對值不等式學生常出現(xiàn)的情況，運用數(shù)軸質(zhì)疑、解惑．落實會正確解出與（）絕對值不等式的教學目標．在將看成一個整體的關(guān)鍵處點撥、啟發(fā)，使學生主動地進行練習．

　　繼續(xù)強化將看成一個整體繼續(xù)強化解不等式時不要犯丟掉這部分解的錯誤．三、課堂練習解下列不等式：（1）；（2）

　　筆答（1）；（2）

　　檢查教學目標落實情況．四、小結(jié)的解集是；的解集是

　　解絕對值不等式注意不要丟掉這部分解集．

　　或型的絕對值不等式，若把看成一個整體一個字母，就可以歸結(jié)為或型絕對值不等式的解法．五、作業(yè)

　　1．閱讀課本含絕對值不等式解法． 2．習題 2、3、4 課堂教學設(shè)計說明

　　1．抓住解型絕對值不等式的關(guān)鍵是絕對值的意義，為此首先通過復(fù)習讓學生掌握好絕對值的意義，為解絕對值不等式打下牢固的基礎(chǔ)．

　　2．在解與絕對值不等式中的關(guān)鍵處設(shè)問、質(zhì)疑、點撥，讓學生融會貫通的掌握它們解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，以達到提高學生解題能力的目的．

　　3．針對學生解（）絕對值不等式容易出現(xiàn)丟掉這部分解集的錯誤，在教學中應(yīng)根據(jù)絕對值的意義從數(shù)軸進行突破，并在練習中糾正這個錯誤，以提高學生的運算能力．

（第二課時）一、教學目標

　　1．掌握平面向量的數(shù)量積的運算律，并能運用運算律解決有關(guān)問題；

　　2．掌握向量垂直的充要條件，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數(shù)的值；

　　3．了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；

　　4．通過平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律猜想與證明，培養(yǎng)學生的探索精神和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度以及實際動手能力；

　　5．通過平面向量的數(shù)量積的概念，幾何意義，性質(zhì)及運算律的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識．

　　二、教學重點平面向量的數(shù)量積運算律，向量垂直的條件；

　　教學難點平面向量的數(shù)量積的運算律，以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用.三、教學具準備

　　投影儀四、教學過程

　　1．設(shè)置情境

　　上節(jié)課，我們已經(jīng)給出了數(shù)量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節(jié)課將研究數(shù)量積作為一種運算，它還滿足哪些運算律？

　　2．探索研究

（1）師：什么叫做兩個向量的數(shù)量積？

　　生：（與向量的數(shù)量積等式的模與在的方向上的投影的乘積）

　　師：向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？

　　生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

　　師：向量的數(shù)量積滿足哪些運算律？

　　生（由學生驗證得出）

　　交換律：

　　分配律：

　　師：這個式子成立嗎？（由學生自己驗證）

　　生：，因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與一般并不共線，所以，向量的內(nèi)積不存在結(jié)合律。

（2）例題分析

【例1】求證：

（1）

（2）

　　分析：本例與多項式乘法形式完全一樣。

　　證：

　　注：（其中、為向量）

　　答：一般不成立。

【例2】已知，與的夾角為，求.解：∵

　　注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值.【例3】已知，且與不共線，當且僅當為何值時，向量與互相垂直．

　　分析：師：兩個向量垂直的充要條件是什么？

　　生：

　　解：與互相垂直的充要條件是

　　即

∵

∴

∴ 當且僅當時，與互相垂直．

　　3．演練反饋（投影）

（1）已知，為非零向量，與互相垂直，與互相垂直，求與的夾角．

（2），為非零向量，當的模取最小值時，①求的值；

②求證：與垂直．

（3）證明：直徑所對的圓周角為直角．參考答案：

（1）

（2）解答：①由

　　當時最?。?/p>

②∵

∴ 與垂直.（3）如圖所示，設(shè)，（其中為圓心，為直徑，為圓周上任一點）

　　則

∵，∴

　　即圓周角

　　4．總結(jié)提煉

（l）

（2）向量運算不能照搬實數(shù)運算律，如結(jié)合律數(shù)量積運算就不成立．

（3）要學會把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問題的先決條件．

（4）對向量式不能隨便約分，因為沒有這條運算律．五、板書設(shè)計課題：

　　1．數(shù)量積性質(zhì) 2．數(shù)量積運算律例題 1 2 3 演練反饋總結(jié)提煉

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板3

　　等差數(shù)列

　　教學目的：

　　1．明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式；

　　2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

　　教學重點：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式

　　教學難點：等差數(shù)列的性質(zhì)

　　教學過程：

　　引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

　　請同學們仔細觀察一下，看看以上兩個數(shù)列有什么共同特征？？

　　共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等-----應(yīng)指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列

　　二、講解新課：

　　1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；

⑵．對于數(shù)列{an},若an－an?1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公?

　　2．等差數(shù)列的通項公式：an?a1?(n?1)d【或an?am?(n?m)d】 ?an?的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得：a2?a1?d即：a2?a1?d

　　a3?a2?d即：a3?a2?d?a1?2d

　　a4?a3?d即：a4?a3?d?a1?3d

　　由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項a如數(shù)列①1，2，3，4，5，6； an?1?(n?1)?1?n（1≤n≤6）

　　數(shù)列②10，8，6，4，2，?； an?10?(n?1)?(?2)?12?2n（n≥1）數(shù)列③1234;,;,1,?;an?1?(n?1)?1?n（n≥1）

　　由上述關(guān)系還可得：am?a1?(m?1)d

　　即：a1?am?(m?1)d

　　則：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d

　　即的第二通項公式an?am?(n?m)d∴ d=am?an

　　m?n

　　如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

　　三、例題講解

　　例1 ⑴求等差數(shù)列8，5，2?的第20項

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13?的項？如果是，是第幾項？

　　解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4得數(shù)列通項公式為：an??5?4(n?1)

　　由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100例2 在等差數(shù)列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

　　解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?(n?1)d?3n?5

?d?3?a1?11d?31

　　a20?a1?19d?55

　　解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?(n?12)d?3n?小結(jié)：第二通項公式an?am?(n?m)d

　　例3將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列un中，設(shè)數(shù)列的第s項和第t項分別為us和ut，計算us?ut

　　s?t

　　解：通過計算發(fā)現(xiàn)us?ut的值恒等于公差

　　s?t

　　證明：設(shè)等差數(shù)列{un}的首項為u1，末項為un，公差為d，?us?u1?(s?1)d

?ut?u1?(t?1)d⑴-⑵得us?ut?(s?t)d?

　　us?ut

?d s?t

(1)(2)

　　小結(jié)：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

　　例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各解：設(shè)?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?(12?1)d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61，a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103，答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例5 已知數(shù)列{an}的通項公式an?pn?q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？

　　分析：由等差數(shù)列的定義，要判定?an?是不是等差數(shù)列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一個與n無關(guān)的常解：當n≥2時,（取數(shù)列?an?中的任意相鄰兩項an?1與an（n≥2））

　　an?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p為常數(shù)

∴{an}是等差數(shù)列，首項a1?p?q，公差為

　　注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.③數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=p n+q(p、q是常數(shù)3通項公式

④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足

　　3四、練習：

　　1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，??的第4項與第10項.解：根據(jù)題意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴該數(shù)列的通項公式為：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差數(shù)列10，8，6，??的第20項.解：根據(jù)題意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴該數(shù)列的通項公式為：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：根據(jù)題意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此數(shù)列通項公式為：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數(shù)列的第15項.（4）－20是不是等差數(shù)列0，－31，－7，??的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：

　　由題意可知：a1=0,d=－31∴此數(shù)列的通項公式為：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

　　2227

　　因為－7n+7=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項.2.在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1與d;（2）已知a3=9, a9=3,求?1.解：（1）由題意得：?a1?3d?10,解之得：???

?d?3?a1?6d?19（2）解法一：由題意可得：?a1?2d?9,解之得?a1?11

?d??1?a1?8d?3

∴該數(shù)列的通項公式為：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.課時小結(jié)

　　五、小結(jié)通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：an－an?1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：an?a1?(n?1)d，并掌握其基本應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an?am?(n?m)d和an=p n+q(p、q是常數(shù))的理解與應(yīng)用.?

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板4

　　課題：等差數(shù)列的前n項和

（二）

　　6161,又∵n∈N*∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個.2

　　2二、例題講解例1.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個數(shù)及這些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

　　即集合M中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1, an(a1?an)30=59,n=30的等差數(shù)列.∵Sn=2,∴S30(1?59)

　　30=2=900.答案：集合M中一共有30個元素，其和為900.例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

　　解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

　　3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2.把這些數(shù)從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.它們可組成一個以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數(shù)列.由Sn(a1?an)n=2,得S33(2?98)

　　33=2=1650.答：在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650.例3已知數(shù)列?an?,是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，求證：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列；

⑵設(shè)Sk,S2k?Sk,S3k?S2k（k?N?）成等差數(shù)列

　　證明：設(shè)?an?,首項是a1，公差為d

　　則S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36d∵S18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)

?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d∴

?S6,S12?S6,S18?S12是以36d同理可得Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是以kd為公差的等差數(shù)列.三、練習：

　　1．一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，然后再解.解：根據(jù)題意，得S4=24, S5－S2=27

　　則設(shè)等差數(shù)列首項為a1,公差為d, 2

　　4(4?1)d?4a??24??12則 ?

?(5a?5(5?1)d)?(2a?2(2?1)d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2（n－1）=2n+?2?

　　2．兩個數(shù)列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數(shù)列公差分別是d1, d2, 求x?x2????x7d1與1y1?y2????y6d2

　　解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝;d2278

　　x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

　　y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18，∴x1?x2????x77＝.y1?y2????y66

　　3．在等差數(shù)列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{an}的前n項和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24，3n(n?1)

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],

∴ 當|n－51|最小時，Sn最小，6

　　即當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1)，由an≤0得n≤9且a9＝0，∴當n＝8或n＝9時，S8＝S9＝－108最小.四、小結(jié)本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?

　　五、課后作業(yè)：

　　1．一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10°,最小內(nèi)角為100°,求邊數(shù)n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n?1)×10，2

　　求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9，當n＝9時, 最大內(nèi)角100＋(9－1)×10＝180°不合題意，舍去，∴ n＝．已知非常數(shù)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足

　　10Sn?m2?3n?2(m?1)n?mn

　　解：由題設(shè)知

　　2n2(n∈N, m∈R), 求數(shù)列{a5n?3}的前n項和.Sn＝lg(m?3?2

　　即 Sn＝[(m?1)n2?mn(m?1)n2?mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m?1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常數(shù)等差數(shù)列，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式(m?1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

　　212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

　　3 則當n=1時，a1＝lg3?lg2 5

　　21當n≥2時,an＝Sn－Sn?1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)55

　　41＝?nlg2?lg3?lg2 55∴

　　41nlg2?lg3?lg2 55

　　4 d=an?1?an=?lg2 5

　　41a5n?3=?(5n?3)lg2?lg3?lg2 55

　　11=?4nlg2?lg3?lg2 5

　　31數(shù)列{a5n?3}是以a8=lg3?lg2為首項,5d=?4lg2為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列5∴an＝?

{a5n?3}的前n項和為

　　n·(lg3?lg2)＋n(n－1)·(?4lg2)＝?2n2lg2?(lg3?lg2)n 255

　　3．一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差d.解：設(shè)這個數(shù)列的首項為a1, 公差為d，則偶數(shù)項與奇數(shù)項分別都是公差為2d的等?12a1?66d?354?32, 解得d＝5.差數(shù)列，由已知得?6a2?30d???6a1?30d27

　　解法2：設(shè)偶數(shù)項和與奇數(shù)項和分別為S偶，S奇，則由已知得

?S偶?S奇?354?S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶???S27奇?

　　4．兩個等差數(shù)列，它們的前n項和之比為5n?3, 2n?1

　　解：a9a1?a17?b9b1?b1717(a1?a17)S8.??17?'17S173(b1?b17)2

　　5．一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求它的前110 解：在等差數(shù)列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差數(shù)列，∴ 新數(shù)列的前10項和＝原數(shù)列的前100項和，10S10＋10?9·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13

　　值范圍；

(2)指出S1, S2, S3, ……, S1212?11?S?12a?d?01?12?2a1?11d?02?解：(1)?,?13?12a?6d?0?1?S13?13a1?d?02?

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得??24?7d?024, ∴ －n

(2)S13＝13a70, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.六、板書設(shè)計（略）

　　七、課后記：

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板5

　　一、教學目標：

　　等差數(shù)列求和教案

　　知識與能力：通理解等差數(shù)列的前項和定義，理解倒序相加的原理，記憶兩種等差數(shù)列求和公式。

　　過程和方法：讓學生學會自主學習和合作學習，體會特殊到一般的數(shù)學方法。情感態(tài)度與價值觀：形成嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ龑?shù)學的興趣。

　　二、教學重點：教學重點是等差數(shù)列的前項和公式的推導和應(yīng)用，已知其中三個量，求另兩個值。

　　教學難點：獲得公式推導的思路

　　三、教學過程 1.新課引入

　　故事提出問題：泰姬陵是世界七大建筑奇跡之一，位于印度，是國王為他心愛的妃子而建，傳說泰姬陵中有一個三角形圖案，以相同大小圓寶石鑲嵌而成，共有100層，你知道這個圖案一共有多少顆寶石嗎？

（板書）“

　　2.講解新課

（板書）等差數(shù)列前項和公式推導（板書）

　　問題1“S=1+2+3+4+、、+n（倒序相加法）分小組討論

　　問題2：

”，兩式左右分別相加，得，，于是.于是得到了兩個公式：和

　　3、知識鞏固：（1）；

（2）

　　4、課堂小結(jié)

　　1.等差數(shù)列前項和公式；

（結(jié)果用表示）

　　2.倒序相加法和分類討論法的數(shù)學思想

小學數(shù)學等差數(shù)列求和教案模板6

　　等差數(shù)列求和

　　教學目標

　　1.掌握等差數(shù)列前

　　項和的公式，并能運用公式解決簡單的問題.項和的定義，了解逆項相加的原理，理解等差數(shù)列前

　　項和公式（1）了解等差數(shù)列前

　　推導的過程，記憶公式的兩種形式；

（2）用方程思想認識等差數(shù)列前公式與前

　　項和的公式，利用公式求；等差數(shù)列通項項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值；

（3）會利用等差數(shù)列通項公式與前項和的公式研究的最值.2.通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法.

　　3.通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平.4.通過公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學生再一次感受數(shù)學源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學地解決問題.教學建議（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前前

　　項和公式的推導和應(yīng)用，首先通過具體的例子給出了求等差數(shù)列項和的思路，而后導出了一般的公式，并加以應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項公式組成方程組，共同運用，解決有關(guān)問題．（2）重點、難點分析

　　教學重點是等差數(shù)列前

　　項和公式的推導和應(yīng)用，難點是公式推導的思路．

　　推導過程的展示體現(xiàn)了人類解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉一般方法，再試圖運用這一方法解決一般情況，所以推導公式的過程中所蘊含的思想方法比公式本身更為重要．等差數(shù)列前變用公式、前項和公式有兩種形式，應(yīng)根據(jù)條件選擇適當?shù)男问竭M行計算；另外反用公式、項和公式與通項公式的綜合運用體現(xiàn)了方程（組）思想．

　　高斯算法表現(xiàn)了大數(shù)學家的智慧和巧思，對一般學生來說有很大難度，但大多數(shù)學生都聽說過這個故事，所以難點在于一般等差數(shù)列求和的思路上．（3）教法建議

①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為公式推導及簡單應(yīng)用，一節(jié)側(cè)重于通項公式與前式綜合運用.②前項和公式的推導，建議由具體問題引入，使學生體會問題源于生活.項和公

③強調(diào)從特殊到一般，再從一般到特殊的思考方法與研究方法.④補充等差數(shù)列前

　　項和的最大值、最小值問題.項和公式.⑤用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前

　　等差數(shù)列的前教學目標

　　1.通過教學使學生理解等差數(shù)列的前項和公式教學設(shè)計示例

　　項和公式的推導過程，并能用公式解決簡單的問題.2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想.教學重點，難點教學重點是等差數(shù)列的前教學用具

　　實物投影儀，多媒體軟件，電腦.教學方法

　　講授法.項和公式的推導和應(yīng)用，難點是獲得推導公式的思路.教學過程一.新課引入

　　提出問題：一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？

　　問題就是（板書）“ ”

　　這是小學時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的.（由一名學生回答，再由學生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，?，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果.我們希望求一般的等差數(shù)列的和，高斯算法對我們有何啟發(fā)？二.講解新課（板書）等差數(shù)列前 1.公式推導（板書）項和公式

　　問題（幻燈片）：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由學生討論，研究高斯算法對一般等差數(shù)列求和的指導意義.思路一：運用基本量思想，將各項用和表示，得，有以下等式，問題是一共有多少個，似乎與的奇偶有關(guān).這個思路似乎進行不下去了.思路二：上面的等式其實就是，為回避個數(shù)問題，做一個改寫，兩

　　式左右分別相加，得，于是有：.這就是倒序相加法.思路三：受思路二的啟發(fā)，重新調(diào)整思路一，可得，于是

.于是得到了兩個公式（投影片）：和.2.公式記憶

　　用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前等差數(shù)列前項和的兩個公式.項和公式，這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應(yīng)著

　　3.公式的應(yīng)用

　　公式中含有四個量，運用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（結(jié)果用表示）

　　解題的關(guān)鍵是數(shù)清項數(shù)，小結(jié)數(shù)項數(shù)的方法.例2.等差數(shù)列中前多少項的和是9900？

　　本題實質(zhì)是反用公式，解一個關(guān)于三.小結(jié)

　　1.推導等差數(shù)列前的一元二次函數(shù)，注意得到的項數(shù) 必須是正整數(shù).項和公式的思路；

　　2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學思想.四.板書設(shè)計

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