下面是范文網(wǎng)小編收集的正弦定理證明3篇(正弦定理怎樣證明)，供大家參閱。
正弦定理證明1
一、正弦定理的幾種證明方法 1.利用三角形的高證明正弦定理 （1） 當 ? ABC 是銳角三角形時， 設邊 AB 上的高是 CD， 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。
由此，得asin Aasin A ??bsin B ， ?同理可得csinC?bsin B，Aba B故有bsin Bcsin C .從而這個結論在銳角三角形中成立.D（2）當 ? ABC 是鈍角三角形時，過點 C 作 AB 邊上的高，交 AB 的延長線于點 D， 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ，CD ? b sin A 。由此， 得asin A ?bsin ?ABC ， ?同理可得csin C .csinC?bsin ?ABCb A a B D C故有asin Absin ?ABC?由(1)(2)可知，在 ? ABC 中，asin A?bsin B?csin C成立.從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即asin A ?bsin B?csin C .2.利用三角形面積證明正弦定理? 已知 △ ABC, 設 BC ＝ a, CA ＝ b,AB ＝ c, 作 AD⊥BC, 垂足為 D.? 則 Rt△ ADB AD A 中, sin B ? ,?∴AD=AB· sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 ∴S△ ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可證 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C ∴ S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?∴absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式兩端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法證明正弦定理 (1)△ ABC 為銳角三角形,過點 A 作單位向量 j 垂直于 AC ,則 j 與BAB 的夾角為AB ,?90° -A,j 與 CB 的夾角為 90° -C.?由向量的加法原則可得? AC ? CB ?為了與圖中有關角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量第 1 頁 共 1 頁 j 的數(shù)量積運算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? ∴|j|j ? CB ? j ? AB .?j ABAC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?a c ? .? sin A sin C∴asinC=csinA.?∴C另外,過點 C 作與 CB 垂直的單位向量 j,則 j 與 AC 的夾角為 90° +C,j 與 AB 的夾 角為 90° +B,可得c b ? .? sin C sin B(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為 j 與 為 90° -C,j 與AC 的夾角AB 的夾角為 90° -B)?∴a b c ? ? .? sin A sin B sin C(2)△ ABC 為鈍角三角形,不妨設 A＞90° ,過點 A 作與 與AC 垂直的單位向量 j,則 jCjAB 的夾角為 A-90° ,j 與 CB 的夾角為 90° -C.?AB ,得 j·AC ?+j· CB =j·AB ,?A由 AC ? CB ?即 a· Cos(90° -C)=c· Cos(A-90° ),?∴asinC=csinA.?∴ 另外,過點 C 作與 CB 垂直的單位向量 j,則 j 與 角為?90° +B.同理,可得 4.外接圓證明正弦定理a c ? sin A sin CABAC 的夾角為 90° +C,j 與 AB 夾a b c b c ? ? ? .? ∴ sin B sin C simA sin B sin C在△ ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ ABC 的外接圓,O 為圓心, 連結 BO 并延長交圓于 B′,設 BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所 對的圓周角相等可以得到 c c ? 2 R .? ∠BAB′=90° ，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? .?∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .?∴ ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 這就是說,對于任意的三角形,我們得到等式?第 2 頁 共 2 頁 a b c ? ? .? sin A sin B sin C法一(平面幾何)：在△ABC 中，已知 AC ? b, BC ? a, 及?C ，求 c。過 A 作 AD ? BC于D，是AD＝AC sin C ? BC sin C ，CD ? AC cos ? b cos c,BAC在 Rt ?ABD 中， AB ? AD ? BD ? (b sin c) ? (a ? b cos c) ? a ? b ? 2ab cos c ，2 2 2 2 2 2 2法二（平面向量） ：??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? ( AC ? BC ) ? AC ? 2 AC ? BC ? BC ? AC ? 2 | AC | ? | BC |??? ?2 cos(180? ? B) ? BC ? b2 ? 2ab cos B ? a2 ，即： c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos c法三（解析幾何）：把頂點 C 置于原點，CA 落在 x 軸的正半軸上，由于△ABC 的 AC=b， CB=a， AB=c， 則 A， B， C 點的坐標分別為 A(b， 0)， B(acosC， asinC)，C(0，0)． |AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 =a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2－2abcosC， 即 c2=a2+b2－2abcosC．.法五（用相交弦定理證明余弦定理）:如圖，在三角形 ABC 中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c?，F(xiàn) 在以 B 為圓心，以長邊 AB 為半徑做圓，這里要用長邊的道理 在于，這樣能保證 C 點在圓內。BC 的延長線交圓 B 于點 D 和 E 這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因為 AG=2acosα ，所以 CG=2acosα -c。根據(jù)相交弦定理有： DC×CE=AC×CG，帶入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα -c) 化簡以后就得 b =a +c +2accosα 。也就是我們的余弦定理。
如圖，在△ ABC 中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分線 AD＝2 cm，求此三角形面積.2 2 2分析：由于題設條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式 S△ ABC＝第 3 頁 共 3 頁1 AB· AC· sinA，需求出 2 sinA ，而 △ ABC 面積可以轉化為 S△ ADC ＋ S△ ADB ，而 S△ ADC ＝1 A 1 AC· ADsin ， S△ ADB ＝ 2 2 2A A AB· AD· sin ，因此通過 S△ ABC＝S△ ADC＋S△ ADB 建立關于含有 sinA，sin 的方程，而 sinA＝ 2 2 A A A A 2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故 sinA 可求，從而三角形面積可求. 2 2 2 2 解：在△ ABC 中，S△ ABC＝S△ ADB＋S△ ADC， ∴ ∴ 1 1 A 1 A AB· ACsinA＝ · AC· AD· sin ＋ · AB· ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A · 4· 3sinA＝ · 3· 2sin ，∴6sinA＝7sin 2 2 2 2A A A ∴12sin cos ＝7sin 2 2 2 ∵sin ∴sin A A 7 A π ≠0，∴cos ＝ ，又 0＜A＜π，∴0＜ ＜ 2 2 12 2 2 A ＝ 2 A 1－cos2 2 ＝ 95 ， 12A A 7 95 ∴sinA＝2sin cos ＝ ， 2 2 72 ∴S△ ABC＝ 1 7 95 · 4· 3sinA＝ （cm2）. 2 12在△ ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 為 BC 中點，且 AD＝4，求 BC 邊長. x 解：設 BC 邊為 x，則由 D 為 BC 中點，可得 BD＝DC＝ ， 2 AD2＋BD2－AB2 在△ ADB 中，cosADB＝ ＝ 2AD· BD x 42＋（ ）2－52 2 x 2× 4× 2 x 42＋（ ）2－32 2 x 2× 4× 2AD2＋DC2－AC2 在△ ADC 中，cosADC＝ ＝ 2AD· DC又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180° －∠ADC）＝－cosADC. x x 42＋（ ）2－52 42＋（ ）2－32 2 2 ∴ ＝－ x x 2× 4× 2× 4× 2 2 解得，x＝2 所以，BC 邊長為 2. 2.在△ ABC 中，已知角 B＝45° ，D 是 BC 邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB. 解：在△ ADC 中， AC2＋DC2－AD2 72＋32－52 11 cosC＝ ＝ ＝ ， 2AC· DC 2× 7× 3 14第 4 頁 共 4 頁 5 3 又 0＜C＜180° ，∴sinC＝ 14 AC AB 在△ ABC 中， ＝ sinB sinC sinC 5 3 5 6 ∴AB＝ AC＝ · 2 ·7＝ . sinB 14 2 3 5 3.在△ ABC 中，已知 cosA＝ ，sinB＝ ，求 cosC 的值. 5 13 3 2 解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45° ，0＜A＜π 5 2 4 ∴45° ＜A＜90° ，∴sinA＝ 5 ∵sinB＝ 5 1 ＜ ＝sin30° ，0＜B＜π 13 2∴0° ＜B＜30° 或 150° ＜B＜180° 若 B＞150° ，則 B＋A＞180° 與題意不符. 12 ∴0° ＜B＜30°cosB＝ 13 3 12 4 5 16 ∴cos（A＋B）＝cosA· cosB－sinA· sinB＝ · － · ＝ 5 13 5 13 65 又 C＝180° －（A＋B）. 16 ∴cosC＝cos［180° －（A＋B） ］＝－cos（A＋B）＝－ . 65第 5 頁 共 5 頁
正弦定理證明2
△ABC 中的三個內角∠A，∠B，∠C 的對邊，分別用 a , b , c 表示. 正弦定理：在三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即a s in A = b s in B = c s in C證明：按照三角形的種類，分三種情形證明之. (1) 在 R t ? A B C 中，如圖 1-1s in A = a cA， s in B =a = bb c =cc ba s in A b s in B CD b c s in C CD a b s in B a s in A = b s in B = c s in C因此，s in As in B有因為 sin C =1 ，所以==C ，a CB（2）在銳角△ABC 中，如圖 1-2 作 C D ? A B 于點 D ，有 s in A = 因此， b sin A = a sin B ，即 同理可證：a s in A = c s in C a s in A， s in B ==b . Aa，故B c C D（3）在鈍角△ABC 中，如圖 1-3 作 C D ? A B ，交 A B 的延長線于點 D ，則s in A = CD b， s in ? A B C = s in C B D =a s in A =CD ab因此， b sin A = a sin B ，即 同理可證： 故a s in A = b s in B b s in B = = c s in C c s in Cs in Bb aA 綜上所述，在任意的三角形中，正弦定理總是成立.cBD 證明：如圖所示，圓 O 是△ABC 的外接圓，半徑為 R 連接 A O 并延長，交圓 O 于點 D ，連接 C D ， A 易知， ? A C D = 9 0 ， ? B = ? Ds in D = AC AD = b 2R?，即 s in B =b 2R因此b s in B=2RO B C同理，延長 B O , C O ， 可證 故a s in A a s in A = = b s in B c s in C = c s in C =2R =2RD證明：過點 B 作單位向量 j ? B C ，那么就有? ??? ???? ? ??? ? ? ???? j ?A C ? j ?A B ? j ?B C? b co s(9 0 ? C ) ? c co s(9 0 ? B ) ? 0 ? ? b sin C ? ? c sin B? b s in B ? a s in A c s in C ?b s in B =A，b s in Bc s in C? j同理有 故a s in A。cb=BC a【小技巧】 根據(jù)幾何圖形確定向量夾角的方法： 如果兩個向量所在之間直線相交，或通過平移一個向量而相交，那么 （1） 向量夾角為銳角，很容易判斷； （2） 向量夾角為鈍角時，可以先判斷銳角，再取補角 例如： 確定向量 j 與向量 A B 的夾角時，由于是鈍角， 先確定向量 j 與向量 B A 的夾角為 9 0 ? B ，再求補角，即為 9 0 ? B 確定向量 j 與向量 A C 的夾角時，先平移 j ，同上可得，夾角為 9 0 ? C? ???? ?? ????? ???????
正弦定理證明3
正弦定理的證明（方法一）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：當 ? ABC 是銳角三角形時，設邊 AB 上的高是 CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有 CD= a sin B ? b sin A ,則 同理可得 從而asin Aasin A?bsin BcsinC ??bsin B?bsin Bcsin C思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由 從而可以考慮用向量來研究這個問題。
（方法二）利用向量證明? ? ???? 如圖，在 ? ABC 中，過點 A 作一個單位向量 j ，使 j ? AC 。于涉及邊長問題，當 ?BAC 為鈍角或直角時，同理可證上述結論。
從上面的研探過程，可得以下定理 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)， 即存在正數(shù) k 使 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC ；asin A ?bsin B?csin C- 1 - （2）asin A?bsin B?csin C等價于asin A?bsin B，csinC?bsin B，asin A?csin C下面還介紹幾種證明的方法，供感興趣同學探索。
（方法三）利用復數(shù)證明 如圖， 如圖2， 建立平面直角坐標系． 在復平面內， 過點 A 作 BC 的平行線， 過點 C 作 AB 的平行線，交于點 D ．根據(jù)復數(shù)相等的定義，實部等于實部，虛部等于虛部．可以得出（方法四）利用 ? ABC 的外接圓證明Ⅰ 如圖， ?O 是 ? ABC 的外接圓，設半徑為 R ，分 別連結 OA 、OB 、 OC ，過點證明：O作 OD ? BC , 垂足為 D 。（方法五）利用 ? ABC 的外接圓證明Ⅱ 如圖，?O 是 ? ABC 的外接圓， 設半徑為 R ，連結 BO 并延長，交 ? O 于點 D ，連結 AD 。- 2 - 證明：（方法六）利用 ? ABC 的高線證明 如圖，在 ? ABC 中，過點 B 作 BD ? AC ，垂足為 D 證明：（方法七）利用兩角和的正弦公式證明 如圖，在 ? ABC 中，過點 B 作 BD ? AC ，垂足為 D- 3 -
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