下面是范文網(wǎng)小編收集的立體幾何練習題6篇 數(shù)學立體幾何專題訓練，供大家賞析。
立體幾何練習題1
立體幾何練習題2
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：
Ⅰ.平行關系：
線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。
Ⅱ.垂直關系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的`性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。
2
四個判定定理：
① 若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
② 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。
③ 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。
④ 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：
空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。
四個性質定理：
① 一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。
② 兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。
③ 垂直于同一平面的兩條直線平行。
④ 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。
標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。
(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很
立體幾何練習題3
一、逐漸提高邏輯論證能力
立體幾何的證明是數(shù)學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。
二、立足課本，夯實基礎
學習立體幾何的一個捷徑就是認真學習課本中定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的聯(lián)系的闡述。但定理的證明在初學的時候一般都很復雜，甚至很抽象。深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。
三、培養(yǎng)空間想象力
為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀。空間想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。
四、“轉化”思想的應用
我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運用“轉化”這種數(shù)學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關鍵的。例如：
(1) 兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。
(2) 異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。
(3) 面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。
五、建立數(shù)學模型
新課程標準中多次提到“數(shù)學模型”一詞，目的是進一步加強數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。數(shù)學模型是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的描述。數(shù)學模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函數(shù)解析式等等。實際問題越復雜，相應的數(shù)學模型也越復雜。
從形狀的角度反映現(xiàn)實世界的物體時，經(jīng)過抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實世界物體的幾何模型。由于立體幾何學習的知識內(nèi)容與學生的聯(lián)系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實世界中的許多物體。他們直觀、具體、對培養(yǎng)大家的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的直觀載體。學習時，一方面要注意從實際出發(fā)，把學習的知識與周圍的實物聯(lián)系起來，另一方面，也要注意經(jīng)歷從現(xiàn)實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關系，歸納、概括它們的判定定理和性質定理。
六、總結規(guī)律，規(guī)范訓練
立體幾何解題過程中，常有顯著的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換，如能建立空間坐標系可用空間向量來解決。只有不斷總結，才能不斷高。
還要注重規(guī)范訓練，高考中反映的這方面的不足十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環(huán)節(jié)交待不清，表達不夠規(guī)范、嚴謹，因果聯(lián)系不充分，圖形中各元素聯(lián)系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對于即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，以平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很顯著的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。
立體幾何練習題4
立體幾何證明題
立體幾何證明題如圖，原題意就是一個正方體，然后E、F分別是A'B、B'C的中點，求證EF//面ABCD。
那些虛線是我做的輔助線，EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，連接MN;然后EG⊥BB'，連接FG，EF。然后證那個五面體EGF-MBN是個三棱柱，從而證得EF//面ABCD，可不可以?
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證明:(1)連接BG并延長交PA于點H..
因為PA,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因為G為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因為PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因為PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點K,,使得CK=1/3BC...
因為BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因為E為BK中點,,BF=FK..所以FE⊥BC...
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1.設P點的射影是H因為PB=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂線的交點，因為BH^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因為A是BC,DC的中垂線的`交點，所以A與P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中點F，過F做FM垂直AB于M，則∠EMF為所求角因為EF=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N為AC中點)則可求得
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取CD和BC的中點M,N,連接PM,PN,AM,AN,因為三角形ABC和三角形PBC都為等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN還垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理證PA垂直于CD,即可。第二問，建空間直角坐標系，求兩個面的法向量，再用向量夾角公式就可求出，結果為arccos(根號下21)/7.
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PA⊥AB PA⊥AC，∴PA⊥面ABC
∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AE
又因為 AE⊥PB
∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PC
又∵ AF⊥PC
∴ PC⊥平面AEF
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3
證明:(1)連接BG并延長交PA于點H..
因為PA,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因為G為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因為PF=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因為PB在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點K,,使得CK=1/3BC...
因為BF=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因為E為BK中點,,BF=FK..所以FE⊥BC...
立體幾何練習題5
立體幾何測試題
1．∥，a，b與，都垂直，則a，b的關系是
A．平行 B．相交 C．異面 D．平行、相交、異面都有可能
2．異面直線a，b，a⊥b，c與a成300，則c與b成角范圍是
A．[600，900] B．[300，900] C．[600，1200] D．[300，1200]
3．正方體AC1中，E、F分別是AB、BB1的中點，則A1E與C1F所成的角的余弦值是
A． B． C． D．
4．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，這時二面角B—AD—C大小為
A．600 B．900 C．450 D．1200
5．一個山坡面與水平面成600的二面角，坡腳的水平線（即二面角的棱）為AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同時乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的點，若PQ=10m，這時甲、乙2個人之間的距離為
A． B． C． D．
6．E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點，EF交BD于O，以EF為棱將正方形
折成直二面角如圖，則∠BOD=
A．1350 B．1200 C．1500 D．900
7．三棱錐V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，側面與底面ABC所成的二面角分別為α，β，γ（都是銳角），則cosα+cosβ+cosγ等于
A．1 B．2 C． D．
8．正n棱錐側棱與底面所成的角為α，側面與底面所成的角為β，tanα∶tanβ等于
A． B． C． D．
9．一個簡單多面體的各面都是三角形，且有6個頂點，則這個簡單多面體的面數(shù)是
A．4 B．6 C．8 D．10
10．三棱錐P—ABC中，3條側棱兩兩垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面積為S，則P到平面ABC的距離為
A． B． C． D．
11．三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是
A． B． C． D．
12．多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為
A． B．5 C．6 D．
13．已知異面直線a與b所成的角是500，空間有一定點P，則過點P與a，b所成的角都是300的直線有________條．
14．線段AB的端點到平面α的`距離分別為6cm和2cm，AB在α上的射影A’B’的長為3cm，則線段AB的長為__________．
15．正n棱錐相鄰兩個側面所成二面角的取值范圍是____________．
16．如果一個簡單多面體的每個面都是奇數(shù)的多邊形，那么它的面數(shù)是__________．
17．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點，O為AC與BD的交點．
求證：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．
18．如圖，三棱錐D—ABC中，平面ABD、平面ABC均為等腰直角三角形，
∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600．
⑴求異面直線DA與BC所成的角；⑵求異面直線BD與AC所成的角；
⑶求D到BC的距離； ⑷求異面直線BD與AC的距離．
19．如圖，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，當x為何值時，A、B的距離最小？并求此距離．
20．如圖，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為 b，側棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側面積和體積．
參考答案：
1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5或; 15. ; 16. 偶數(shù);
17. 解析：
⑴欲證EG∥平面BB1D1D，須在平面BB1D1D內(nèi)找一條與EG平行的直線，構造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’，顯然BO’即是。
⑵按線線平行線面平行面面平行的思路，在平面B1D1H內(nèi)尋找B1D1和O’H兩條關鍵的相交直線，轉化為證明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF
⑶A1O⊥平面BDF，由三垂線定理，易得BD⊥A1O，再尋A1O垂直于平面BDF內(nèi)的另一條直線。猜想A1O⊥OF。借助于正方體棱長及有關線段的關系計算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
⑷∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
18. 解析：
在平面ABC內(nèi)作AE∥BC，從而得∠DAE=600
∴ DA與BC成600角
過B作BF∥AC，交EA延長線于F，則∠DBF為BD與AC所成的角
由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200∴ DF2=a2+a2-2a2·=3a2 ∴ DF=a
DBF中，BF=AC=a∴ cos∠DBF=∴ 異面直線BD與AC成角arccos
（3）∵ BA⊥平面ADE∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中點M，則有DM⊥平面ABC；取BC中點N，由MN⊥BC，根據(jù)三垂線定理，DN⊥BC
∴ DN是D到BC的距離 在△DMN中，DM=a，MN=a∴ DN=a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF
∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離∵ ，
由，即異面直線BD與AC的距離為.
19. 解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，則EF為異面直線AE、BF的公垂段，AE與BF成600角，可求得|AB|=，當x=時，|AB|有最小值.
20. 解析：在側面AB’內(nèi)作BD⊥AA’于D 連結CD
∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD
∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
∴ △DBC的周長=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面積=
∴ S側=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’=
立體幾何練習題6
第一要建立空間觀念，提高空間想象力。
從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學自制一些空間幾何模型并反復觀察，這有益于建立空間觀念，是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關系，探索各種角、各種垂線作法，這對于建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構造定理的“圖”，對于建立空間觀念也是很有幫助的。
第二要掌握基礎知識和基本技能。
要用圖形、文字、符號三種形式表達概念、定理、公式，要及時不斷地復習前面學過的內(nèi)容。這是因為《立體幾何》內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，前面內(nèi)容是后面內(nèi)容的根據(jù)，后面內(nèi)容既鞏固了前面的內(nèi)容，又發(fā)展和推廣了前面內(nèi)容。在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉;要寫出解題根據(jù)，不論對于計算題還是證明題都應該如此，不能想當然或全憑直觀;對于文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖;用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數(shù)而不把它寫出來是不行的。要學會用圖(畫圖、分解圖、變換圖)幫助解決問題;要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法。
第三要不斷提高各方面能力。
通過聯(lián)系實際、觀察模型或類比平面幾何的結論來提出命題;對于提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個特例進行檢驗，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內(nèi)容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗創(chuàng)造數(shù)學知識。要不斷地將所學的內(nèi)容結構化、系統(tǒng)化。所謂結構化，是指從整體到局部、從高層到低層來認識、組織所學知識，并領會其中隱含的思想、方法。所謂系統(tǒng)化，是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認識。牢固地把握一些能統(tǒng)攝全局、組織整體的概念，用這些概念統(tǒng)攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關系的已知知識間的聯(lián)系，提高整體觀念。
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